Zbadaj ciągłość następujących funkcji:
a) \(f(x)= \begin{cases} cos\ \left( \frac{ \pi }{2} x\right)\ , \ \left| x \right| \le 1 \\ x-1\ , \ \ \ \ \ \ \ \ \left| x\right|>1 \end{cases}\)
b) \(f(x)= \begin{cases} x-1 \ ,\ x<1 \\ ln\ x \ , \ x \ge 1 \end{cases}\)
zbadaj ciaglosc
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a) Funkcja na pewno jest ciągła wszędzie poza punktami \(-1\) i \(1\) jako funkcja elementarna. Pozostaje tylko zbadać ciągłość w tych dwóch punktach. Rozważmy np. punkt\(x_0=1\). Kolejno mamy:
\(f(1)=\cos\frac{\pi}{2}=0\) oraz
\(\lim\limits_{x\to1^-}\ f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\ \cos\frac{\pi}{2}x=0\)
\(\lim\limits_{x\to1^+}\ f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\ (x-1)=0\)
A zatem spełniony jest warunek
\(\lim\limits_{x\to1^+}\ f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\ f(x)=f(1)\)
czyli w tym punkcie funkcja jest ciągła.
Gdy zrobimy to samo dla \(x=-1\) to okaże się, że
\(\lim\limits_{x\to-1^-}\ f(x)=f(-1)=0\)
ale
\(\lim\limits_{x\to-1^+}\ f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\ (x-1)=-2\)
czyli w punkcie \(-1\) funkcja nie jest ciągła.
W podpunkcie b) analogicznie, tyle, że jest tylko jeden punkt do zbadania \(x=1\)
\(f(1)=\cos\frac{\pi}{2}=0\) oraz
\(\lim\limits_{x\to1^-}\ f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\ \cos\frac{\pi}{2}x=0\)
\(\lim\limits_{x\to1^+}\ f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\ (x-1)=0\)
A zatem spełniony jest warunek
\(\lim\limits_{x\to1^+}\ f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\ f(x)=f(1)\)
czyli w tym punkcie funkcja jest ciągła.
Gdy zrobimy to samo dla \(x=-1\) to okaże się, że
\(\lim\limits_{x\to-1^-}\ f(x)=f(-1)=0\)
ale
\(\lim\limits_{x\to-1^+}\ f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\ (x-1)=-2\)
czyli w punkcie \(-1\) funkcja nie jest ciągła.
W podpunkcie b) analogicznie, tyle, że jest tylko jeden punkt do zbadania \(x=1\)