Granica funkcji

[martaaa7]

\(\lim_{x\to- \infty } \frac{ln(1+3^x)}{2^x}\) Proszę o pomoc, to bedzie z reguły d Hospitala?

[radagast]

\(\lim_{x\to- \infty } \frac{ln(1+3^x)}{2^x}= \lim_{x\to- \infty } \frac{ \frac{1}{3^x} ln(1+3^x)}{ \left( \frac{2}{3} \right) ^x}= \frac{\lim_{x\to- \infty } \frac{1}{3^x} ln(1+3^x)}{\lim_{x\to- \infty } \left( \frac{2}{3} \right) ^x}=\left( 3^x=t\\ \lim_{x\to - \infty } t=0^-\right)=\frac{ \lim_{t\to 0^- } \frac{1}{t} ln(1+t)}{ \lim_{x\to- \infty }\left( \frac{2}{3} \right) ^x}=
\left( \frac{1}{t}=-s\\ \lim_{t\to 0^-} s= \infty \right) =\frac{ \lim_{s\to \infty } -s \cdot ln(1- \frac{1}{s} )}{ \lim_{x\to- \infty }\left( \frac{2}{3} \right) ^x}=\frac{ \lim_{s\to \infty }- ln(1- \frac{1}{s} )^{s}}{ \lim_{x\to- \infty }\left( \frac{2}{3} \right) ^x}= \frac{-1}{ \infty } =0\)
Nie wiem czy nie pomieszałam czegoś ze znakami. Ale wynik jest ok więc jeśli nawet to jest parzysta liczba błędów