Całkowanie przez czesci i podstawianie

[maja001]

1. Metoda przez części:
\(\int_{}^{} xcosxdx=xcosx - \int_{}^{} -sinxdx=xcox +cosx +C\)
2. Metodą podstawiania
\(\int_{}^{} \frac{(lnx)^4}{x}dx= \int_{}^{} t^4xdt=x \int_{}^{} t^4dt= \frac{xt^5}{5} +C= \frac{xlnx^5}{5} +C\)
3. Tutaj prosze o rozwiązanie, nie wiam jak się za to zabrać \(\int_{}^{} \sqrt{sinx}cosxdx\)
4. I proszę o jakieś wskazówki do obliczenia obszaru ograniczonego osią OX, wykresem funkcji \(y=sinx\) i prostymi \(x=0,\) \(x= \pi\)

[radagast]

1. Metoda przez części:
\(\int_{}^{} xcosxdx=xcosx - \int_{}^{} -sinxdx=xcox +cosx +C\)

Rozumiem, ze chodzi Ci o sprawdzenie. Niedobrze. Powinno być:
\(\int xcosxdx= \int_{}^{} x \left( sin x\right)' dx= x sin x-\int sin xdx= x sin x+cosx+C\)

[radagast]

2. Metodą podstawiania
\(\int_{}^{} \frac{(lnx)^4}{x}dx= \int_{}^{} t^4xdt=x \int_{}^{} t^4dt= \frac{xt^5}{5} +C= \frac{xlnx^5}{5} +C\)

Też niedobrze.
Powinno być:
\(\int \frac{(lnx)^4}{x}dx= \left( lnx=t\\x=e^t\\ dx=e^tdt\right)=\int \frac{t^4}{e^t}e^tdt=\int t^4dt= \frac{1}{5}t^5+C= \frac{1}{5}ln^5x+C\)

[radagast]

\(\int \sqrt{sinx}cosxdx=\int \left(sinx \right) '\sqrt{sinx} dx=sinx \sqrt{sinx} -\int sinx \frac{cosx}{2\sqrt{sinx}} dx=
sinx \sqrt{sinx} - \frac{1}{2} \int \sqrt{sinx} cosx dx \Rightarrow\)

\(\frac{3}{2} \int \sqrt{sinx}cosxdx= sinx \sqrt{sinx}+C\)

no to
\(\int \sqrt{sinx}cosxdx= \frac{2}{3}sinx \sqrt{sinx}+C_1\)

[radagast]

4. I proszę o jakieś wskazówki do obliczenia obszaru ograniczonego osią OX, wykresem funkcji \(y=sinx\) i prostymi \(x=0,\) \(x= \pi\)

\(P= \int_{0}^{ \pi }sint dt\) a to się liczy dość łatwo