definicja granicy funkcji

[17inferno]

Korzystając z definicji granicy funkcji uzasadnij podaną równość:

a) \(\lim_{ x\to 1^{+}} \frac{4x}{x+1}=2\)

od czego zacząć ?

[radagast]

Zajmijmy się tym od końca:
\(\left|\frac{4x}{x+1}-2 \right|=\left|\frac{4x-2x-2}{x+1}\right|=\left|\frac{2x-2}{x+1}\right|=2\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=2\left|1-\frac{2}{x+1}\right|=(*)\)
granica jest prawostronna więc \(x>1 \Rightarrow x+1>2 \Rightarrow \frac{2}{x+1} <1 \Rightarrow 1- \frac{2}{x+1}>0\)
czyli
\((*)=2 \left( 1- \frac{2}{x+1}\right)< \varepsilon \Leftrightarrow 1- \frac{2}{x+1}< \frac{\varepsilon}{2} \Leftrightarrow - \frac{2}{x+1}< \frac{\varepsilon}{2}-1 \Leftrightarrow \frac{2}{x+1}> 1- \frac{\varepsilon}{2} \Leftrightarrow \frac{x+1}{2}< \frac{1}{1- \frac{\varepsilon}{2}} \Leftrightarrow x+1< \frac{2}{1- \frac{\varepsilon}{2}} \Leftrightarrow x+1< \frac{4}{2- \varepsilon}
\Leftrightarrow x-1< \frac{4}{2- \varepsilon}-2\)

niech więc \(\delta=\frac{4}{2- \varepsilon}-2\)

Wtedy \(\left|x-1 \right|<\delta \Rightarrow \left|\frac{4x}{x+1}-2 \right|< \varepsilon\)

A więc : \(\forall \varepsilon >0 \ \ \exist \delta>0 \ \ \left|x-1 \right|<\delta \Rightarrow \left|\frac{4x}{x+1}-2 \right|< \varepsilon\)

CBDO

[17inferno]

wielkie dzieki