Baza, warstwy

[magda_5]

Mógłby mi ktoś pilnie pomóc z poniższym zadaniem...

Dane są podprzestrzenie \(U = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} ), W = lin ( \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} )\) przestrzeni \(Z^{4}_{5}\)
(a) Znajdź układ równań, którego zbiorem rozwiązań jest warstwa \(\begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1\end{bmatrix} + U\).
(b) Znajdź bazę przestrzeni \(U + W\).
(c) Znajdź bazę przestrzeni \(U\cap W\)
(d) Wskaz przynajmniej jedna podprzestrzeń \(T < Z^{4}_{5}\)taka, ze \(W \oplus T = Z^{4}_{5}\)

Rozwiązałam podpunkt b) i c) ... tylko nie wiem czy poprawnie...

b)

\(U + W = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} ) = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\2\\0\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\2\\0\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\3\\4\\3\end{bmatrix} ) =\)
\(lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\2\\0\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\3\\4\\3\end{bmatrix} ) = lin (\begin{bmatrix} 1\\0\\4\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\4\\1\end{bmatrix} ) =\)
\(lin ( \begin{bmatrix} 1\\0\\4\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\4\end{bmatrix} ) = lin ( \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\4\end{bmatrix} )\)

Czyli wychodzi, że

\(U + W = lin ( \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\4\end{bmatrix})\)

To jest baza?

\(dim U+W = 3\)

oraz c)

Wyznaczam \(U \cap W\)

\(\alpha \in U \cap W \Leftrightarrow \alpha \in U \wedge \alpha \in W\)

\(\alpha \in U = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} ) \Leftrightarrow \alpha = x \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix}\)

\(\alpha \in W = lin ( \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} ) \Leftrightarrow \alpha = z \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix}\)

Przyrównując otrzymujemy

\(x \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix}\)

\(\begin{cases} x+2y=3z+3t\\2x+y=3z+4t\\4x+3y=2z+t\\3x+4y=2z+2t\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+2y+2y+2t=0\\2x+y+2z+t=0\\4x+3y+3z+4t=0\\3x+4y+3z+3t=0\end{cases}\)

Rozwiązuje układ:

\(\begin{bmatrix} 1&2&2&2&0\\2&1&2&1&0\\4&3&3&4&0\\3&4&3&2&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2&2&2&0\\0&2&3&2&0\\0&0&0&1&0\\0&3&2&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2&2&2&0\\0&1&4&1&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&3&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2&2&0&0\\0&1&4&0&0\\0&0&0&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&4&0&0\\0&1&4&0&0\\0&0&0&1&0\end{bmatrix}\)

\(\begin{cases} x+4z=0\\y+4z=0\\z=z\\t+0\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=z\\y=z\\z=z\\t=0\end{cases} ; z \in Z _{5}\)

Zatem

\(\alpha = z \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3z\\3z\\2z\\2z\end{bmatrix}\)

Zatem

\(U \cap W = { \begin{bmatrix} 3z\\3z\\2z\\2z\end{bmatrix} : z \in Z _{5} } = lin (\begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix})\)

i baza:

\(dim U \cap W = \begin{bmatrix} 1\\1\\4\\4\end{bmatrix} = 1\)

jest to poprawnie rozwiązane?

Jak ma wyglądać a) a tym bardziej d)?