Obliczyć granice ciągów i funkcji

[keero]

Uploaded with ImageShack.us

[Crazy Driver]

Przepisz to tutaj. Jest tak małe, że nie da się tego czytać.

[keero]

Uploaded with ImageShack.us

Z góry przepraszam, ale nie potrafię rozpisać dokładnie takich zapisów własnoręcznie na forum

[Crazy Driver]

\(\left( \frac{3n-1}{3n+2} \right)^{4n+1}=\left( \frac{3n+2-3}{3n+2} \right)^{4n+1}=\left(1- \frac{3}{3n+2} \right)^{4n+1}=\left(\left(1- \frac{3}{3n+2} \right)^{- \frac{3n+2}{3} }\right)^{-\frac{3(4n+1)}{3n+2}}\longrightarrow e^{-4}\)

Wartość granicy wynika z faktu, że dla każdego \((a_n)\subset\mathbb{R}\)

\(a_n\to0 \ \Rightarrow \ \left(1+a_n\right)^{1/a_n}\to e\)

oraz z faktu, że

\(\begin{cases}
a_n\to a\\
b_n\to b
\end{cases}\quad\Rightarrow\quad a_n^{b_n}\to a^b\)

[Galen]

\(\lim_{n\to \infty } (1+\frac{1}{n})^n =e\\
\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{c}{n})^n=e^c\)
Zastosujesz w pierwszej granicy.Najpierw skrócisz ułamek przez 3.
\(\lim_{n\to \infty } (\frac{3(n- \frac{1}{3}) }{3(n+ \frac{2}{3}) })^{4n+1}= \lim_{n\to \infty }( \frac{n- \frac{1}{3} }{n+ \frac{2}{3} })^1 \cdot ( \frac{n- \frac{1}{3} }{n+ \frac{2}{3} })^{4n}=\)

\(= \lim_{n\to \infty }( \frac{n(1- \frac{ \frac{1}{3} }{n}) }{n(1+ \frac{ \frac{2}{3} }{n}) }( \frac{1- \frac{ \frac{1}{3} }{n})^n }{(1+ \frac{ \frac{2}{3} }{n})^n })^4= \frac{1-0}{1+0} \cdot ( \frac{e^{ -\frac{1}{3}} }{e^{ \frac{2}{3}} })^4=e^{-4}= \frac{1}{e^4}\)

[Crazy Driver]

\(\lim_{x\to0^+}\sqrt{x^x}=\lim_{x\to0^+}\exp(\ln\sqrt{x^x})=\lim_{x\to0^+}\exp(x\ln x/2)=\exp\left(\lim_{x\to0^+}(x\ln x/2)\right)=\\=\sqrt{\exp\left(\lim_{x\to0^+}(x\ln x)\right)}\)

\(t= \frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{t\to+\infty} \frac{\ln(1/t)}{t}=\lim_{t\to+\infty} -\frac{\ln t}{t}=0\)

Wartość ostatniej granicy wynika z faktu, że dla każdego \(\alpha>0\)

\(\lim_{t\to+\infty} \frac{\ln t}{t^\alpha}=0\)

Ostatecznie:

\(\lim_{x\to0^+}\sqrt{x^x}=\sqrt{e^0}=1\)

[Galen]

\(\sqrt{x^x}=x^{\frac{1}{2}x}=e^{lnx^{0,5x}}=e^{0,5x\cdot lnx}\)
Przechodząc do granicy masz obliczyć granicę wykładnika potęgi:
\(\lim_{x\to 0_+} \frac{x}{2} \cdot lnx= \lim_{x\to 0_+} \frac{lnx}{ \frac{2}{x} }=(H)= \lim_{x\to 0_+} \frac{ \frac{1}{x} }{- \frac{-2}{x^2} }= \lim_{x\to 0_+} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{-2}= \lim_{x\to 0_+} \frac{x}{-2}=0\)
Szukana granica to
\(e^0=1\)