obliczyc sume szeregu

[rayman]

bede wdzieczny za pomoc przy takich przykladach
obliczyc sumy i zbadac czy podane szeregi sa zbiezne czy rozbiezne

1)\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{-5^n}{8^{2n}}\)

2)\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k+3}}{e^{k-3}}\)

[alexx17]

\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{-5^n}{8^{2n}}=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(-1)( \frac{5}{8^2})^n =\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(-1)( \frac{5}{64})^n\)

A to już zwykły szereg geometryczny

\(S= \frac{a_1}{1-q}= \frac{ \frac{-25}{4096} }{1- \frac{5}{64} }= \frac{-25}{3776}\)

Oczywiście jest zbieżny.

[Galen]

\(\sum_{0}^{ \infty } \frac{2^3 \cdot 2^k}{e^k \cdot e^{-3}}=8e^3 \cdot \sum_{0}^{ \infty }( \frac{2}{e})^k=8e^3 \cdot \frac{1}{1- \frac{2}{e} }=8e^3 \cdot \frac{e}{e-2}= \frac{8e^4}{e-2}\)

[rayman]

mam pytanie, a jak bedziemy miec taki szereg

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\) ?

[Galen]

Pamiętam,że suma tego szeregu równa jest \(\frac{1}{2}\) , ale jak to się liczy ?
Nie pamiętam...

[Crazy Driver]

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1}\right)= \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2i-1}- \frac{1}{2i+1}\right)\)

\(\sum_{i=1}^1\left(\frac{1}{2i-1}- \frac{1}{2i+1}\right)=1- \frac{1}{3}= \frac{2}{3}\)

\(\sum_{i=1}^2\left(\frac{1}{2i-1}- \frac{1}{2i+1}\right)=1- \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)

\(\sum_{i=1}^3\left(\frac{1}{2i-1}- \frac{1}{2i+1}\right)=1- \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{5}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{7} = \frac{6}{7}\)

\(\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2i-1}- \frac{1}{2i+1}\right)= \frac{2n}{2n+1}\)

(w razie potrzeby można to pokazać przez indukcję)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}= \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2i-1}- \frac{1}{2i+1}\right)= \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n+1}= \frac{1}{2}\cdot1=\frac12\)

[rayman]

dzieki, ladne rozwiazanie