Granica funkcji

[patrycjaa_93]

Oblicz granicę \(\lim_{x\to 0}xsin (\frac{ \pi }{x})\) przez pomnożenie licznika i mianownika przez \(\frac{ \pi }{x}\) wychodzi mi \(\pi\)a w odpowiedziach jest 0 proszę o pomoc

[radagast]

dobrze jest w odpowiedziach. Nie ma po co tego mnożyć przez cokolwiek. To jest po prostu 0 razy liczba ograniczona i juz

[patrycjaa_93]

ale przy takiej granicy doprowadza się do \(\frac{sinx}{x}\) a potem x się skóci i wychodzi \(\pi\)

[irena]

Mylisz się.
To
\(\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1\)
a tutaj masz
\(\lim_{x\to0}\frac{sin(\frac{\pi}{x})}{\frac{\pi}{x}}\\x\to0\ \Rightarrow \ \frac{\pi}{x}\to\infty\)

[patrycjaa_93]

no ale przed sin jest jeszcze x

[Galen]

Musisz znać podstawową granicę
\(\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1\)
Zamiast x mogą być funkcje zmierzające do zera.

Pytasz o granicę innego rodzaju,bo tu argumenty dla sinusa nie zmierzają do zera,a do nieskończoności...
\(\lim_{x\to 0}x \cdot sin( \frac{\pi}{x})=0\)
Sinus przyjmuje wartości od -1 do 1 (wyżej nie podskoczy )
Ten sinus jest mnożony przez x,ale x zmierza do zera,to i cały iloczyn zmierza do zera.