forum.zadania.info

Znajdź wzór funcjji odwrotnej f(x)= e^(x) - e ^(-x). Określij jej dziedzine i zbadaj ciągłość.

\(f(x)= e^x - e ^{-x}\)
\(f(x)= e^x - \frac{1}{e^x}\)
podstawmy na chwilę \(e^x=t,\ \ t>0\)
\(y=t- \frac{1}{t}\)
\(t^2-ty-1=0\)
\(\Delta =y^2+1\)
\(t_{1,2}= \frac{y \pm \sqrt{y^2+1} }{2}\)
po odrzuceniu ujemnego pierwiastka
\(t= \frac{y + \sqrt{y^2+1} }{2}\)
czyli
\(e^x= \frac{y + \sqrt{y^2+1} }{2}\)
\(x= ln \left(\frac{y + \sqrt{y^2+1} }{2} \right)\)
No to mamy juz funkcję odwrotną:
\(f^{-1}(x)= ln \left(\frac{x + \sqrt{x^2+1} }{2} \right)\)
Ciągła jest jako złożenie funkcji ciągłych
\(D_{f^{-1}}:
x + \sqrt{x^2+1}>0
x \in R\)

Dziękuję a jak obliczyć funckję odwrotna gdy mam : F(x)= (e^x + e^ -x)/(e^x - e^-x)