forum.zadania.info

czy ktos moze pomoc?
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{n}\frac{2^{n+1}-1}{3^{n+1}-1}=\frac{\infty}{\infty}\overbrace{=}^{H}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(\frac{3}{2})^{n}\cdot(2^{n+1}-1)+(\frac{3}{2})^{n}\cdot((n+1)2^{n})}{(n+1)3^{n-1}}\)
jak to dalej ugryzc?

Do liczenia granic ciągów nie można stosować tw. de'Hospitala.

\(\lim_{n\to + \infty }\ ( \frac{3^n}{2^n} \ \cdot \ \frac{2 \cdot 2^n-1}{3 \cdot 3^n-1})\ =\ \lim_{n\to + \infty }\ \frac{2 \cdot 6^n-3^n}{3 \cdot 6^n-2^n}\ =\ \lim_{n\to + \infty }\ \frac{2- \frac{1}{2^n} }{3- \frac{1}{3^n} } \ =\ \frac{2}{3}\)

dzieki;) powtarzam sobie wlasnie obliczanie granic daaawno zapomnianych ciagow:)

\(( \frac{3}{2})^n \cdot \frac{2 \cdot 2^n-1}{3 \cdot 3^n-1}= \frac{3^n(2 \cdot 2^n-1)}{2^n(3 \cdot 3^n-1}=\\
= \frac{2 \cdot 6^n-3^n}{3 \cdot 6^n-2^n}= \frac{6^n \cdot 2(1- \frac{3^n}{6^n}) }{6^n \cdot 3(1- \frac{2^n}{3^n}) }\)
Skracasz 6 do potęgi n i liczysz granicę.
\(\lim_{n\to \infty } \frac{2(1-( \frac{1}{2})^n }{3(1-( \frac{1}{3})^n) }= \frac{2(1-0)}{3(1-0)}= \frac{2}{3}\)