funkcja odwrotna

[kaziolo]

1.Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji:
\(f(x)=x^{2}+2x+2\)
\(x \in (-10,-1)\)
2.Wykazać, że funkcja
\(f(x)=log_{2}( \sqrt{x^{2}+1}-x)\)
\(x\in R\)
jest funkcją nieparzystą.

[patryk00714]

W podanym przedziale funkcja nie jest "na" (nie ma np x, dla którego \(f(x)=70\) więc funkcja odwrotna nie istnieje.

[radagast]

W podanym przedziale funkcja nie jest "na" (nie ma np x, dla którego \(f(x)=70\) więc funkcja odwrotna nie istnieje.

Radzimy sobie z takimi trudnościami :

\(y=x^{2}+2x+2\\x^{2}+2x+2-y=0\\ \Delta =4(y-1)\\x_{12}= -1 \pm \sqrt{y-1}\ odrzucam\ ten\ z\ plusem\)
w rezultacie
\(f^{-1}(x)= -1 - \sqrt{x-1}\)

dziedziną tej funkcji nie jest wprawdzie R, ale trudno powiedzieć, ze ona nie istnieje

[patryk00714]

Mnie uczono, że warunkiem istnienia funkcji odwrotnej do f jest fakt, aby f była surjekcją i injekcją:)

[radagast]

Dobrze Cie uczono.
Ale pewnie mówiono Ci też , że funkcja \(\sqrt{x}\) jest odwrotna do \(x^2\) oczywiście przy odpowiednich założeniach (tu ,że \(x \ge 0)\)

[Galen]

Na przedziale (-10;-1) funkcja jest różnowartościowa (x=-1 , y=1 to wierzchołek paraboli).
Często odwraca się funkcje po uprzedniej restrykcji dziedziny (zacieśnieniu) do przedziału
w którym jest ona różnowartościowa.
Masz y=sin x
Nie jest różnowartościowa w R,ale istnieje odwrotna w przedziale \(<-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}>\)

[Galen]

Zad.2
Masz wykazać,że f(-x)=-f(x)
\(f(x)=log_2(\sqrt{x^2+1}-x)=log_2(\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)( \sqrt{x^2+1}+x)}{ \sqrt{x^2+1}+x}=log_2 \frac{x^2+1-x^2}{ \sqrt{x^2+1}+x }=log_2 \frac{1}{ \sqrt{x^2+1}+x }=\)
\(=log_2( \sqrt{x^2+1}+x)^{-1}=-1 \cdot log_2( \sqrt{x^2+1}+x)\)
\(f(-x)=log_2( \sqrt{x^2+1}+x)\)
\(-f(x)=-(-1)log_2( \sqrt{x^2+1}+x)=log_2 \sqrt{x^2+1}+x\)
Spełniony jest warunek :
\(f(-x)=-f(x)\)