Obliczyć granicę funkcji

[John doe]

Witam! Proszę o pomoc:
7)\(\lim_{x\to1 }\)\((2-x)^{tg \frac{ \pi x}{2} }\)
8.) \(\lim_{x\to2 }\)\((e^{x-2}+x-2)^{ \frac{1}{2x}\)
9)\(\lim_{x\to0 }\)\((ctg2x)^{ \frac{1}{lnx} }\)
10) \(\lim_{x\to2 }\)\(\frac{x^3-4x^2+4x}{x^3-12x+16}\)
Z góry dziękuję. Pozdrawiam

[radagast]

7)\(\lim_{x\to1 }(2-x)^{tg \frac{ \pi x}{2} }=\lim_{x\to1 }e^{ln (2-x)^{tg \frac{ \pi x}{2}} } =\lim_{x\to1 }e^{tg \frac{ \pi x}{2}ln (2-x)}=\lim_{x\to1 }e^{ \frac{ln (2-x)}{ctg \frac{ \pi x}{2}} }=(*)\)


\(\lim_{x\to1 }\ \ \frac{ln (2-x)}{ctg \frac{ \pi x}{2}}=^H\lim_{x\to1 }\ \ \frac{ -\frac{1}{2-x} }{- \frac{ \pi }{2} \frac{1}{sin^2 \left( \frac{ \pi x }{2}\right) } }= \frac{-1}{- \frac{ \pi }{2}} = \frac{2}{ \pi }\)

No to

\((*)=e^{ \frac{2}{ \pi }}\)

[radagast]

8.) \(\lim_{x\to2 }\)\((e^{x-2}+x-2)^{ \frac{1}{2x}\)

Czy Ty to dobrze przepisałeś? Bo to jest po prostu \(1^{ \frac{1}{4}}=1\)
podejrzewam że w wykładniku powinno być \(\frac{1}{2-x}\) ale czekam na potwierdzenie

[radagast]

9)
\(\lim_{x\to0 }(ctg2x)^{ \frac{1}{lnx} }= \lim_{x\to0 }e^{ln (ctg2x)^{ \frac{1}{lnx} }}=\lim_{x\to0 }e^{\frac{ln (ctg2x)}{lnx} }=(*)\)


\(\lim_{x\to 0 } {\frac{ln (ctg2x)}{lnx} }=^H\lim_{x\to 0 } {\frac{ \frac{ -\frac{2}{sin^22x} }{ctg2x} }{ \frac{1}{x} } }=\lim_{x\to 0 } { -\frac{2xsin2x}{sin^22x cos2x} }=\lim_{x\to 0 } { -\frac{2x}{sin2x cos2x} }=-1\)

No to \((*)=e^{-1}= \frac{1}{e}\)

[radagast]

10)
\(\lim_{x\to2 }\ \ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^3-12x+16}=\lim_{x\to2 }\ \ \frac{x(x-2)^2}{(x-2)^2(x+4)}=\lim_{x\to2 }\ \ \frac{x}{x+4}= \frac{2}{6}= \frac{1}{3}\)

[John doe]

8.) \(\lim_{x\to2 }\)\((e^{x-2}+x-2)^{ \frac{1}{2x}\)

Czy Ty to dobrze przepisałeś? Bo to jest po prostu \(1^{ \frac{1}{4}}=1\)
podejrzewam że w wykładniku powinno być \(\frac{1}{2-x}\) ale czekam na potwierdzenie

tak, jest błąd powinno być \(\frac{1}{2-x}\)