Obliczyć granicę funkcji

[John doe]

Witam! Proszę o pomoc.
1) \(\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} }\)\(\frac{cos3x}{cosx}\)
2)\(\lim_{x\to-1 }\) \(\frac{x^3-1}{ln(3x+4)}\)
3) \(\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{x^3}\)
4)\(\lim_{x\to1 }\)\((1-x)tg \frac{ \pi x}{2}\)
5)\(\lim_{x\to0 }\)\(\frac{1}{x}- \frac{1}{e^x-1}\)
6)\(\lim_{x\to0^+ }\)\(x^x\)
Z góry dziękuję. Pozdrawiam!

[radagast]

1) \(\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} }\frac{cos3x}{cosx}=\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} }\frac{sin {\left( \frac{ \pi }{2}- 3x\right) }}{sin{\left( \frac{ \pi }{2}- x\right) }}= \left( \frac{ \pi }{2}-x=t \\x= \frac{ \pi }{2}-t\\\frac{ \pi }{2}- 3x=3t- \pi\\ \lim_{x\to \frac{ \pi }{2} } t=0 \right)= \lim_{t\to 0 } \frac{sin { \left( 3t- \pi \right) }}{sin{t }}=-\lim_{t\to 0 } \frac{sin { \left( 3t \right) }}{sin{t }}=-3\)

[radagast]

Napisz jeszcze czy można korzystać z reguły de l'Hospitala , bo z regułą to one są bardzo łatwe a bez to trochę mniej

[radagast]

2)
\(\lim_{x\to-1 }\frac{x^3-1}{ln(3x+4)}= \frac{-2}{0} = \pm \infty\) to znaczy:

\(\lim_{x\to-1^- }\ \ \frac{x^3-1}{ln(3x+4)}= \frac{-2}{0^-} = + \infty\)

\(\lim_{x\to-1^+ }\ \ \frac{x^3-1}{ln(3x+4)}= \frac{-2}{0^+} = - \infty\)


(Tu wietrzę podstęp albo pomyłkę )

[John doe]

Tak, można korzystać z tej reguły de l'Hospitala, którą niestety nie do końca rozumiem :/

[radagast]

3) \(\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{x^3}=\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{3x^2}=\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{6x}=\lim_{x\to+ \infty }\) \(\frac{e^x}{6}= \infty\)
To trochę nie elegancko w takich przykładach stosować regułę de l'Hospitala (dlatego pytałam). Dowodem reguły się nie przejmuj , mało kto go zna i niewielu rozumie. To jest potężne działo, nieskomplikowane w obsłudze

[radagast]

4)
\(\lim_{x\to1 }(1-x)tg \frac{ \pi x}{2}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{cos{\frac{ \pi x}{2}}}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} - \frac{ \pi x}{2} \right)}}=\lim_{x\to1 }(1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}}=
\lim_{x\to1 } \frac{ \pi }{2} (1-x) \frac{sin{\frac{ \pi x}{2}}}{ \frac{ \pi }{2} sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}}=\lim_{x\to1 } \frac{\frac{ \pi }{2} (1-x)}{sin { \left( \frac{ \pi }{2} \left( 1-x\right) \right)}} \cdot \frac{sin{ \frac{ \pi x}{2}} }{ \frac{ \pi }{2} }=1 \cdot \frac{1}{ \frac{ \pi }{2} } = \frac{2}{ \pi }\)

Może to i można jakoś prościej ale nijak nie chciało mi wyjść. Reguła de l'Hospitala - nie pomaga.

[radagast]

5)
\(\lim_{x\to0 }\)\(\frac{1}{x}- \frac{1}{e^x-1}=\lim_{x\to0 }\)\(\frac{e^x-1-x}{x \left( e^x-1\right) }=^H\lim_{x\to0 }\)\(\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1}=^H \lim_{x\to0 }\)\(\frac{e^x}{e^x+e^x+xe^x}= \frac{1}{1+1}= \frac{1}{2}\)

[radagast]

6)
\(\lim_{x\to0^+ } x^x= \lim_{x\to0^+ } e^{ln \left(x^x \right)} =\lim_{x\to0^+ } e^{xln x} =\lim_{x\to0^+ } e^{ \frac{lnx}{ \frac{1}{x} } } =(*)\)

\(\lim_{x\to 0^+} \frac{lnx}{ \frac{1}{x} }=^H\lim_{x\to 0^+} \frac{ \frac{1}{x} }{ -\frac{1}{x^2} }=0^\)


No to \((*)= e^0=1\)

[John doe]

Witam ponownie! mam jeszcze kilka przykładów, proszę o pomoc:
7)\(\lim_{x\to1 }\) \((2-x)^{tg \frac{ \pi x}{2} }\)
8.)\(\lim_{x\to2 }\) \((e^{x-2}+x-2)^{ \frac{1}{2x} }\)
9)\(\lim_{x\to0 }\) \((ctg2x)^{ \frac{1}{lnx} }\)
10)\(\lim_{x\to2 }\) \(\frac{x^3-4x^2+4x}{x^3-12x+16}\)

[radagast]

Nie dopisuj nowych przykładów do starego wątku. Załóż nowy. (Robi się bałagan)