oblicz pola obszarów

[joanna1234]

oblicz pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi
\(x^2+y^2-2y=0\),\(x^2+y^2-4y=0\)

[octahedron]

\(x^2+y^2-2y+1=1
x^2+(y-1)^2=1
x^2+y^2-4y+4=4
x^2+(y-2)^2=2^2\)

czyli dwa okręgi styczne wewnętrznie, wystarczy odjąć ich pola: \(\pi(2^2-1^2)=3\pi\)

[joanna1234]

ale to trzeba całkami policzyć, bo z tego działu jest to zadanie

[octahedron]

Ok, mamy okręgi, czyli współrzędne biegunowe:

\(S=S_1-S_2=\int_0^{2\pi}\int_0^2r\,drd\gamma-\int_0^{2\pi}\int_0^1r\,drd\gamma=\int_0^{2\pi}\[\frac{r^2}{2}\]_0^2\,d\gamma-\int_0^{2\pi}\[\frac{r^2}{2}\]_0^1\,d\gamma=\\=\int_0^{2\pi}2\,d\gamma-\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\gamma=4\pi-\pi=3\pi\)