forum.zadania.info

Zrobilem takie zadania tylko ze innym sposobem niz proponuja. Wynik niby dobry wyszedl. Moglby ktos sprawdzic czy taki sposob jest poprawny?

Tresc zadania :
Zbior rozwiazan rownania \(x^3+bx^2+bx+1=0\) jest dwuelementowy. Znajdz ten wzor

Ja rozwiazuje to tak :
Zauwazylem ze -1 jest pierwiastkiem rownania wiec zrobilem taki rozklad
\((x+1)(x^2+bx+1)\)
Jak maja byc 2 rozwiazania razem to rownanie kwadratowe musi miec \(\Delta =0\)
Taki przypadek jest gdy \(b = -2\) lub \(b = 2\)
Wiec mam 2 rownania \((x+1)(x^2+2x+1)\) lub \((x+1)(x^2-2x+1)\) i tylko w przypadku drugiego rozwiazania sa rozne
wiec zbior mi wyszedl \(ZW = { -1, 1 }\)

\(x^3+1+bx^2+bx=0\\
(x^3+1)+bx(x+1)=0\\
(x+1)(x^2-x+1)+bx(x+1)=0\\
(x+1)(x^2-x+1+bx)=0\\
(x+1)(x^2+(b-1)x+1)=0\\
x+1=0\;\;\;\;lub\;\;\;\;x^2+(b-1)x+1=0\\
x_1=-1\;\;\;\)
Drugie równanie musi mieć jeden pierwiastek różny od (-1), albo dwa pierwiastki,z których jeden wynosi (-1)
\(\Delta=(b-1)^2-4=b^2-2b-3=0\\
\Delta_b=4+12=16\;\;\;\;\;\sqrt{\Delta_b}=4\\
b_1=-1\;\;\;\;\;\;\;b_2=3\)
Sprawdzasz,czy dla b=-1 są dwa różne pierwiastki,a także sprawdzasz dla b=3.
\(b=-1\\
x^3-x^2-x+1=0\\
x^2(x-1)-1(x-1)=0\\
(x-1)(x^2-1)=0\\
(x-1)(x-1)(x+1)=0\\
x_1=x_2=1\;\;\;\;\;x_3=-1\)
Są dwa różne pierwiastki,w tym jeden dwukrotny.
\(b=3\\
x^3+3x^2+3x+1=0\\
(x+1)^3=0\\
x_1=x_2=x_3=-1\)
Jest tu jeden pierwiastek trzykrotny.
Odp.
Wzór równania:
\(x^3-x^2-x+1=0\;\;\;\;\;dla\;\;\;\;b=-1\)

Masz błędny rozkład na czynniki.
Jak wymnożysz te nawiasy,to zobaczysz,że nie otrzymasz postaci wyjściowej wielomianu.

Dzieki Wielkie za rozwiazanie. Tylko mam pytanie czy nie powinno sie jeszcze sprawdzic przypadku kiedy delta jest wieksza od 0 ? Bo w Twoim rozwiazaniu porownojesz delte do 0.

dokładnie odpowie ktoś czy nie trzeba sprawdzić delty > 0

mzkaoq pisze:dokładnie odpowie ktoś czy nie trzeba sprawdzić delty > 0

Możesz badać delta >0,ale wtedy szukasz dwóch pierwiastków równania...Tymczasem masz już jeden pierwiastek,to szukasz tylko jednego i to różnego od x=-1.
Wystarczy sprawdzenie,kiedy (-1) spełnia równanie kwadratowe...