sprawdzić istnienie następującej granicy

[suspicious20]

\(\lim_{x\to0 } cos{ \frac{1}{x} }\)
Odp. nie istnieje.
nei wiem jak to udowodnic

[octahedron]

Z definicji Heinego:

\(x_n=\frac{1}{2n\pi}
x'_n=\frac{1}{(2n+1)\pi}
\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x'_n=0
\lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{x_n}=\lim_{n\to\infty}\cos(2n\pi)=\lim_{n\to\infty}1=1
\lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{x'_n}=\lim_{n\to\infty}\cos((2n+1)\pi)=\lim_{n\to\infty}-1=-1\)

Skoro granice są różne, to granica funkcji nie istnieje

[suspicious20]

a dlaczego wziąłeś akurat takie \(x_n\)?

[Galen]

Taki dobór ciągów argumentów ładnie pokazuje,że istnieją ciągi argumentów zbieżne do x=0,a odpowiadające
im ciągi wartości funkcji nie zmierzają do tej samej granicy.
To dowodzi,że podana funkcja nie ma granicy w nieskończoności.

Przeczytaj definicję granicy wg.Heinego.