Zbieżność szeregu

[martaaa7]

Zbadaj zbieznośc szeregu
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n^{n+1}} }\) Szereg ten jest rozbieżny ale nie wiem jak to pokazać
Z kryterium Cauchy'ego i d'Alemberta wychodzi jeden a z poównawczego mi nie wychodzi

[alexx17]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } { \frac{1}{n} } =\sum_{n=1}^{ \infty } { \frac{1}{n} } \cdot 1 \le \sum_{n=1}^{ \infty } { \frac{1}{n} } \cdot { \frac{1}{\sqrt[n]{n}} } =\sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n^n} } \cdot { \frac{1}{\sqrt[n]{n}} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n^n \cdot n} }= \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n^{n+1}} }\)

rozbieżny

[martaaa7]

a możesz napisać z czego skorzystałeś?

[alexx17]

\(\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1\), reszta to kryterium porównawcze.

[martaaa7]

ale wydaję mi się że nierównośc jest zła dla kryterium porównawczego an>bn i bn rozbieżny to an rozbieżny

[alexx17]

Pokazywało mi w dobrą stronę, ale to wina mojej przeglądarki. Już poprawiłem.