forum.zadania.info

a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{1}{n+1}\)

b)\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{n^2+1}\)

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{1}{n+1}\\ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1}=0\\ \frac{1}{n+1}> \frac{1}{n+2}\\ (n+1) (n+2)>0\\ n >-1 \ \wedge \ n<-2 \ \wedge \ n \in N^+ \ \Rightarrow n \in <1, \infty )\)
Dla każdej naturalnej jest spełniona, więc ciąg wyrazów jest nierosnący. Ponadto wyrazy występują naprzemiennie, raz z minusem, raz z plusem, więc szereg jest zbieżny.

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{n^2+1}\\ \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n^2+1}=0\\ \frac{1}{n^2+1}> \frac{1}{(n+1)^2+1}\\ \\ n >-\frac{1}{2} \ \wedge \ n \in N^+ \ \Rightarrow n \in <1, \infty )\)
I to samo co wyżej.