obliczyć pochodną funkcji

[olciaa]

\(f(x)=arctg(x- \sqrt{1+x^2})\)

Odp.: \(f'(x)= \frac{1}{2(1+x^2)}\)

[sarni20]

\(f'(x)=arctg(x- \sqrt{1+x^2})=\frac{1}{1+(x-\sqrt{1+x^2})^2}*(1-\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})*2x=\frac{1}{2(1+x^2)}\)

[Galen]

\(f'(x)=\frac{1}{1+(x-\sqrt{1+x^2})^2}\cdot (x-\sqrt{1+x^2})'= \frac{1- \frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2} } }{1+x^2-2x \sqrt{1+x^2}+1+x^2 }=\)
\(= \frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{ \sqrt{1+x^2} } \cdot \frac{1}{2+2x^2-2x \sqrt{1+x^2} }= \frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{ \sqrt{1+x^2} \cdot 2 \cdot (1-x \sqrt{1+x^2}+x^2 ) } = \frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{2[ \sqrt{1+x^2}-x(1+x^2)+x^2 \sqrt{1+x^2}] }=\)
\(= \frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{2[(1+x^2) \sqrt{1+x^2}-(1+x^2) \cdot x] }= \frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{2(1+x^2)( \sqrt{1+x^2}-x) }=\)
\(= \frac{1}{2(1+x^2)}\)

[radagast]

A ja jeszcze bardziej szczegółowo i z opisami:

\(f'(x)=^1
\frac{1}{1+(x- \sqrt{1+x^2})^2 } \cdot \left( 1- \frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2} } \right)=^2
\frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{ \sqrt{1+x^2} \left( 1+(x- \sqrt{1+x^2})^2 \right) } =^3
\frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{ \sqrt{1+x^2} \left( 1+x^2-2x \sqrt{1+x^2} +1+x^2\right) } =^4
\frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{ 2\sqrt{1+x^2} \left( 1+x^2-x \sqrt{1+x^2} \right) } =^5
\frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{ 2\sqrt{1+x^2} \left( \left( \sqrt{1+x^2}\right) ^2 -x \sqrt{1+x^2} \right) } =^6
\frac{ \sqrt{1+x^2}-x }{ 2 \left( {1+x^2}\right) \left( \sqrt{1+x^2} -x \right) } =^7
\frac{1 }{ 2 \left( {1+x^2}\right) }\)

1. Policzono pochodną jako "pochodna funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji wewnętrznej
2,3,4, kolejne przekształcenia upraszczające
5. wyodrębniono wspólny czynnik (jest to \(\sqrt{1+x^2}\))
6. Wyłączono wspólny czynnik przed nawias
7. Ucieszywszy się, ze to co zostało po wyłączeniu wspólnego czynnika jest tym samym co stało w liczniku, skrócono ułamek