Wielomiany zad

[Łukasz1991]

Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian(x+1)(x−1)x−2) Wiedząc że W(−1)= −1 W(2)=2 , W(1)=1

[Pol]

można zapisać że:

\(W(x) = V(x)(x+1)(x-1)(x-2) + R(x)\)

reszta może być maksymalnie stopnia drugiego \(R(x) = ax^2+bx+c\) (mniejszy od dzielnika, który ma stopień trzeci) i można zapisać dalej w ten sposób:

\(W(x) = V(x)(x+1)(x-1)(x-2) + ax^2+bx+c\)

na podstawie treści zadania tworzymy układ równań:

\(\{ W(-1) = V(-1)(-1+1)(-1-1)(-1-2) + a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\ \ \\
W(2) = V(2)(2+1)(2-1)(2-2) + a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\ \ \\
W(1) = V(1)(1+1)(1-1)(1-2) + a\cdot 1^2+b\cdot 1+c\\ \ \\\)

podstawiamy pod W(-1), W(2), W(1) wartości z treści zadania:

\(\{ -1 = V(-1)\cdot 0\cdot (-2) \cdot (-3) + a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\ \ \\
2 = V(2)\cdot 3 \cdot 1 \cdot 0 + a\cdot 2^2+b\cdot 2+c\\ \ \\
1 = V(1)\cdot 2 \cdot 0 \cdot (-1) + a\cdot 1^2+b\cdot 1+c\\ \ \\\)

\(\{ -1 = a-b+c\\ \ \\
2 = 4a+2b+c\\ \ \\
1 = a+b+c\\ \ \\\)

\(\{ a = 0\\ \ \\
b = 1\\ \ \\
c = 0\\ \ \\\)

Odp. \(R(x) = x\)