Wzór Taylora

[saszaw90]

Prosiłbym o pomoc tych 2 zadań. Wzór oczywiście znam, niestety mam problem z wyznaczeniem. A w drugim punkcie nie za bardzo rozumiem polecenie i nie wiem, jak do tego się zabrać.

1. Obliczyć\(ln(1,5)\) i oszacować resztę (ze wzoru Taylora):

\(ln(1+x) = x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}- \frac{x^4}{4}+R\)

2. Rozwinąć w szereg Taylora funkcję \(y = \frac{1}{x}\) w otoczeniu punktu \(x_0 = 3\)

[octahedron]

1.
\(\ln(1,5)=\ln\(1+\frac{1}{2}\)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \(\frac{1}{2}\)^2+\frac{1}{3}\cdot\(\frac{1}{2}\)^3-\frac{1}{4}\cdot\(\frac{1}{2}\)^4
R=\frac{\(\frac{1}{2}\)^5}{5(1+c)^5},\ c\in\(0,\frac{1}{2}\)
R\le \frac{\(\frac{1}{2}\)^5}{5(1+0)^5}=\frac{1}{160}\)
2.
\(y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}
y(3)=\frac{1}{3}
y=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n\)

[saszaw90]

Bardzo dziękuje za rozwiązanie tych zadań. Zad. 1 już rozumiem, natomiast mam pytania do zad. 2:

Jaki wzór tutaj użyłeś do:

\(y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\)

A tu skorzystałeś ze wzoru: \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)

\(y=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n\)

Zastanawiam się, czemu jest \(\sum_{n=1}^{\infty}\) a nie \(\sum_{n=0}^{\infty}\) tak jak we wzorze?

Jeszcze raz bardzo dziękuje za pomoc, bardzo mi zależy na zrozumieniu tego zadania.

[octahedron]

1) Rozpisz sobie kilka pochodnych \(y=\frac{1}{x}\), to zobaczysz, że tak właśnie wychodzi
2) Zaczynamy od \(n=1\), bo \(\frac{f^{(0)}(3)}{0!}(x-3)^0=f(3)=\frac{1}{3}\)

[saszaw90]

Witam! Chciałbym poprosić o wytłumaczenie, jak to się stało, że tak jest:
\(R\in\(0,\frac{1}{160}\)\)
w zad. 1

Pisałem, że rozumiem to zadanie, owszem, ale wyszło na to, że źle zrozumiałem. Jeśli można, prosiłbym o wytłumaczenie.

[octahedron]

Poprawiłem, bo było zapisane nie tak, jak trzeba. Teraz chyba jest już dobrze

[saszaw90]

Poprawiłem, bo było zapisane nie tak, jak trzeba. Teraz chyba jest już dobrze

Dziękuje, teraz już lepiej
A mógłbyś jeszcze powiedzieć, czy jest na to wzór: \(R=\frac{\(\frac{1}{2}\)^5}{5(1+c)^5}\), bo nie mogę zrozumieć mianownika. Rozumiem, że w liczniku to \(c^5\), a w mianowniku? Czyli \(0\) z \(c \in (0, \frac{1}{2} )?\)

[octahedron]

To jest reszta w postaci Lagrange'a:

\(R_n=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_o)^{n+1}\)

w naszym przypadku mamy:

\(f(x)=\ln(1+x)
f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\)

[saszaw90]

Super wytłumaczyłeś, dziękuje Cieszę się, że już to rozumiem.

[octahedron]

Jeszcze jedną rzecz poprawiłem w ostatnim poście, w liczniku ostatniego ułamka. Teraz jest ok.