szeregi potęgowe

[anetaaneta1]

Wyznaczyć koła zbieżności szeregu
a)\(\sum_{n=1}^{ \infty } n^{3}x^{n}\)
b) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^{n}}{n^{2}} \cdot x^{n}\)

Znaleźć przedziały zbieżności i wyznaczyć sumy szeregóe
a) \(\sum_{n=0}^{ \infty } (x^{2}-3x+1)^{n}\)
b) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^{n}}{n}\)

Mógłby mi ktoś tak dokładnie wytłumaczyć jak to się robi bo nie było mnie na tych ćwiczeniach i kompletnie nie wiem o co chodzi/
Z góry wielkie dzięki

[octahedron]

a)
Korzystamy ze wzoru:

\(\frac{1}{r}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3}=1\Rightarrow r=1\)

i kołem zbieżności jest \((-r,r)\), czyli \((-1,1)\)

Jest to po prostu kryterium Cauchy'ego:

\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|n^3x^n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3}\cdot|x|=|x|\)

więc jeśli \(|x|<1\) szereg jest zbieżny, dla \(|x|>1\) jest rozbieżny, czyli koło zbieżności to \((-1,1)\)

b)

\(\frac{1}{r}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt[n]{n^2}}=2\Rightarrow r=\frac{1}{2}\)

kołem zbieżności jest \(\(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\)\)

[octahedron]

a) może tam powinno być \(x^2-3x+1\) ?
b)
\(\frac{1}{r}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1\Rightarrow r=1\)

więc koło zbieżności \((-1,1)\), badamy zbieżność na brzegu koła:

\(x=1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) - rozbieżny

\(x=-1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\) - zbieżny z kryterium Leibniza

czyli przedział zbieżności to \([-1,1)\)

Korzystamy z tego, że szereg potęgowy możemy różniczkować i całkować wyraz po wyrazie

\(\(\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{x^{n}}{n}\)'=\sum_{n=1}^{ \infty }\(\frac{x^{n}}{n}\)'=\sum_{n=1}^{ \infty }x^{n-1}=\frac{1}{1-x}
\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{x^{n}}{n}=\int\frac{1}{1-x}\,dx=-\ln|1-x|+C
x=0\Rightarrow \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{x^{n}}{n}=0\Rightarrow C=0
\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{x^{n}}{n}=-\ln|1-x|\)

[anetaaneta1]

Sorki źle przepisałam już poprawiam

[anetaaneta1]

A mam pytanie odnośnie tego koła zbieżności jak mam taki szereg \(\sum_{n-1}^{ \infty } \frac{(x-1)^{n}}{2^{n} \cdot n^{3}}\) to ja liczę granice \(\lim_{n\to \infty } \frac{1}{2^{n} \cdot n^{3}}\) i yu mi wychodzi \(R=2\) czyli kołem zbieżności jest \(\left(-2,2 \right)\) ?

[octahedron]

Tak, koło zbieżności to \((-R,R)\)

[anetaaneta1]

acha to jak mam taki przykład
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{n+1} \left( \frac{2x+1}{x} \right) ^{n}\)
to też liczę granice taką \(\lim_{n\to \infty } \frac{n}{n+1}\)

nie ma zanczenia czy bedzie \(x ^{n}\) czy \(\left( \frac{2x+1}{x} \right) ^{n}\)
po prostu ,,opuszczam'' te to co jest z x

[octahedron]

\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|(x^2-3x+1)^n|}=|x^2-3x+1|<1\)

Można też od razu zauważyć, że to szereg geometryczny

\(-1<x^2-3x+1<1
x^2-3x+2>0\ \wedge\ x^2-3x<0
(x-2)(x-1)>0\ \wedge\ x(x-3)<0
x\in[(-\infty,1)\cup(2,\infty)]\cap (0,3)=(0,1)\cup(2,3)
\sum_{n=0}^{\infty}(x^2-3x+1)^n=\frac{1}{1-(x^2-3x+1)}=\frac{1}{x(3-x)}\)

[octahedron]

Można to sobie tak wyobrazić:

\(u=\frac{2x+1}{x}
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{n+1} \left( \frac{2x+1}{x} \right) ^{n}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{n+1} u^{n}\)

szukamy koła zbieżności i wtedy mamy \(u\in(-R,R) \Rightarrow -R<\frac{2x+1}{x}<R\) i wyliczamy, dla jakich \(x\) ten warunek jest spełniony i dostajemy przedział zbieżności

[anetaaneta1]

kurcze nie za bardzo czaje bo policzyłam \(\lim_{n\to \infty } \frac{n}{n+1} u^{n}=u\)
i teraz promień jest \(R= \frac{1}{u}\)
czyli koło zbieżności to przedział \(\left( -\frac{1}{u} , \frac{1}{u} \right)\)
i jak zamienić to u teraz ?

[octahedron]

Mamy szereg potęgowy postaci \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) i niech \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{r}\). Stosujemy kryterium Cauchy'ego:

\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_nx^n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x|=|x|\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{|x|}{r}\)

czyli:

\(\frac{|x|}{r}>1 \Rightarrow |x|>r \Rightarrow x\in(-\infty,-r)\cup(r,\infty) \text{ - szereg rozbie\dot{z}ny}\)
\(\frac{|x|}{r}<1 \Rightarrow |x|<r \Rightarrow x\in(-r,r) \text{ - szereg zbie\dot{z}ny}\)

promień zbieżności liczymy ze wzoru \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\), czyli tutaj \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{n+1}}=1\),mamy \(u\in(-1,1)\) i dalej \(-1<\frac{2x+1}{x}<1\) i wyliczamy \(x\)

[anetaaneta1]

a mam pytanie czemu \(u \in \left( -1,1\right)\) ?
czyli z tych 2 złożeń wyjdzie \(x \in \left( -\frac{1}{3},0 \right)\) ?

[octahedron]

\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n+1}}=\frac{1}{1}=1\)

przedział zbieżności jest dobrze

[anetaaneta1]

a mam taki przykład \(\sum_{n=1}^{ \infty} \frac{ \left( n-1\right)^{2n} }{2^{n} \cdot n^{3}}\)
i \(u= \left( x-1\right)^{2}\)
i promień wyszedł \(R=2\)
ale jak \(u \in \left( -2,2\right)\) to z tego warunku wychodzi mi zbiór pusty
i co w takim przypadku ?

[octahedron]

\(-2<(x-1)^2<2
(x-1)^2<2
-\sqrt{2}<x-1<\sqrt{2}
1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\)