Gradient funkcji, ekstrema lokalne

[justyska05]

3.Wyznacz gradient fukcji f(x,y) w punkcie \(P_0\):
a)\(f(x,y)=x^2y-4xy^3+5y+2\) w \(P_0 (0,1)\)
b)\((x,y)=ycosx\) w \(P_0 (- \frac{ \pi }{2},1)\)

4. Sprawdź czy funkcja \(z(x,y)= \frac{y}{x}-x^2-y^2\) spełnia równianie: \(x* \frac{ \partial z}{ \partial x}+y* \frac{ \partial z}{ \partial y} + 2x^2+2y^2=0\)

6. Znajdź ekstrema lokalne następujących funkcji:
a)\(f(x,y)=x^2-xy+2y^2-x+4y-5\)
b)\(f(x,y)=2x^3+xy^2+5x^2+y^2\)
c)\(f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)\)

[ewelawwy]

4.
\(x\cdot (-\frac y{x^2}-2x)+y\cdot (\frac 1x-2y)+2x^2+2y^2=0\)
dalej chyba dasz radę sama...

[ewelawwy]

6a. \(f(x,y)=x^2-xy+2y^2-x+4y-5\)

\(f'_x=2x-y-1\\
f'_y=-x+4y+4\)

\(\{2x-y-1=0\\
-x+4y+4=0\)
\(\{x=0\\ y=-1\)

punkt M(0,-1) jest podejrzany o ekstremum

\(f''_{xx}=2\\
f''{xy}=f''_{yx}=-1\\
f''_{yy}=4\)

wpisujemy pochodne do macierzy i liczymy wyznacznik:

\(\begin{vmatrix}f''_{xx}(M)&f''_{xy}(M)\\f''_{yx}(M)&f''_{yy}(M)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-1\\-1&4\end{vmatrix}=7>0\)
zatem w M jest ekstremum i jest to minimum, bo \(f''_{xx}(M)>0\)

[ewelawwy]

6 b,c analog. do a
spróbuj zrobić sama i pytaj ew. o to czego nie rozumiesz