całka z funkcji wymiernej

[alicja403]

obliczyc całkę z funkcji wymiernej:
\(\int \frac{x^4+8x^2+9}{x^4+9x^2} dx\)

[radagast]

A czy to czasem nie powinno byc tak \(\int \frac{x^4+9x^2+8}{x^4+9x^2} dx\) (trochę łatwiej by się liczyło...)

[alicja403]

no niestety nie ;/

[rayman]

obliczyc całkę z funkcji wymiernej:
\(\int \frac{x^4+8x^2+9}{x^4+9x^2} dx\)

zacznij od zapisania mianownika funkcji podcalkowej w takiej postaci \(x^2(x^2+9)\)

dostaniesz wtedy

\(\int \frac{x^4+8x^2+9}{x^4+9x^2} dx=\int \frac{x^4+8x^2+9}{x^2(x^2+9)}dx\)

teraz podziel przez siebie wielomiany
\(\frac{x^4+8x^2+9}{x^2(x^2+9)}= 1+\frac{9-x^2}{x^2(x^2+9)}\)

musimy jeszcze drugi wyraz rozlozyc na ulamki proste
\(\frac{9-x^2}{x^2(x^2+9)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+9}\)

rozwiazujac uklad dostaniesz odpowiednio
\(\begin{cases} A=0 \\ B=1 \\C=0 \\D=-2\end{cases}\)

zatem masz

\(\frac{9-x^2}{x^2(x^2+9)}=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^2+9}\)

i wracasz do swojej calki

\(\int \frac{x^4+8x^2+9}{x^4+9x^2} dx=\int\Bigl(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^2+9}+1\Bigr)dx=-\frac{1}{x}-\frac{2}{3}\arctan(\frac{x}{3})+x+C\)

calki z funkcji wymiernych zazwyczaj wymagaj by rozlozyc funkcje podcalkowa na ulamki proste

[octahedron]

\(\int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}\)

[rayman]

\(\int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}\)

zagadza sie, juz poprawiam