Zad.1
a)Oblicz gradient potencjału i funkcje Laplace'a który opisuje wzór:
\(U=8 \cdot sin^2(x)-9{exp} (-yz)^{ \frac{1}{2}}\)
b)Oblicz dywergencje oraz rotor natężenia pola elektrycznego opisanego wzorem:
\(\vec{E}=8x^{-2} \cdot \vec{i} +6cos^2(y-z) \cdot \vec{k}\)
Fizyka- Obliczyć gradient dywergencje rotor
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
glodzio
- Rozkręcam się
- Posty: 40
- Rejestracja: 12 gru 2010, 10:18
- Otrzymane podziękowania: 16 razy
- Płeć:
Re: Fizyka- Obliczyć gradient dywergencje rotor
Witam
W zadaniach tego typu wystarcza umiejętność obliczania pochodnych cząstkowych funkcji złożonych. Sądzę, że właśnie w tym jest największy problem.
ad.a)
Argumentami dla gradientu i laplasjanu są funkcje skalarne. Gradient przekształca funkcję skalarną np. potencjał w funkcje wektorową a laplasjan przekształca funkcje skalarną w inna funkcję skalarną.
Nie jestem pewien czy potencjał miał mieć postać:
\(U=8sin^2(x)-9e^{(-yz)}^ {{ \frac{1}{2}}}\)
Ale ja będę obliczał dla postaci takiej jaka jest w zadaniu.
Gradient:
\(grad U = \left[ \frac{ \partial U}{ \partial x}, \frac{ \partial U}{ \partial y} , \frac{ \partial U}{ \partial z} \right]\)
Inny zapis gradientu:
\(gradU= \frac{ \partial U}{ \partial x} \cdot \vec{i} +\frac{ \partial U}{ \partial y} \cdot \vec{j}+\frac{ \partial U}{ \partial z} \cdot \vec{k}\)
Tutaj wyraźnie widać, że składowymi gradientu sa pochodne cząstkowe funkcji skalarnej (tu potencjału) względem współrzędnych x, y, z.
Dla przejrzystości zapisu obliczę każdą pochodną cząstkową oddzielnie:
\(\frac{ \partial U}{ \partial x}= 16 \cdot sin(x) \cdot cos(x)\)
\(\frac{ \partial U}{ \partial y}=9 \cdot e \cdot \frac{1}{2} \cdot (-yz)^{- \frac{1}{2}} \cdot z\)
\(\frac{ \partial U }{ \partial z}=9 \cdot e \cdot \frac{1}{2} \cdot (-yz)^{- \frac{1}{2}} \cdot y\)
Obliczyliśmy składowe gradientu.
Aby obliczyć laplasjan wystarczy jeszcze raz obliczyć pochodne cząstkowe ze składowych gradientu:
\(lapl U = \frac{ \partial ^2U}{ \partial x^2} + \frac{ \partial ^2U}{ \partial y^2} + \frac{ \partial ^2U}{ \partial z^2}\)
Znów dla przejrzystości obliczę każdą pochodną oddzielnie:
\(\frac{ \partial ^2U}{ \partial x^2}= 16cos(x)cos(x)-16sin(x)sin(x)\)
\(\frac{ \partial ^2U}{ \partial y^2}= 9 \cdot e \cdot \frac{1}{2}(- \frac{1}{2})(-yz)^{- \frac{3}{2}} (-z^2)\)
\(\frac{ \partial ^2U}{ \partial z^2 }= 9 \cdot e \cdot \frac{1}{2}(- \frac{1}{2}) (-yz)^{- \frac{3}{2}} (-y^2)\)
Wystarczy teraz zsumować te pochodne cząstkowe.
ad. b)
Dywergencja (źródłowość) oraz rotacja (nie żaden rotor) (inaczej wirowość) są funkcjami, których argumentami są funkcje wektorowe. Dywergencja przekształca funkcję wektorową (np. natężenie pola elektrycznego) na funkcję skalarną, a rotacja przekształca funkcję wektorową na inną funkcję wektorową.
Składowe wektora natężenia pola elektrycznego są następujące:
\(\vec{E}_x=8x^{-2}\)
\(\vec{E}_y=0\)
\(\vec{E}_z=6cos^2(y-z)\)
Dywergencja
\(div \vec{E} = \frac{ \partial E_x}{ \partial x}+ \frac{ \partial E_y}{ \partial y}+\frac{ \partial E_z}{ \partial z}\)
Obliczamy zatem pochodne cząstkowe ze składowych wektora natężenia pola elektrycznego, a następnie dodajemy je do siebie.
\(\frac{ \partial E_x}{ \partial x}=-16x^{-3}\)
\(\frac{ \partial E_y}{ \partial y}=0\)
\(\frac{ \partial E_z}{ \partial z} =12cos(y-z) \cdot sin(y-z)\)
Rotacja:
\(rot \vec{E}= \left( \frac{ \partial E_z}{ \partial y} - \frac{ \partial E_y}{ \partial z} \right) \cdot \vec{i} + \left( \frac{ \partial E_x}{ \partial z} - \frac{ \partial E_z}{ \partial x} \right) \cdot \vec{j} + \left( \frac{ \partial E_y}{ \partial x} - \frac{ \partial E_x}{ \partial y} \right) \cdot \vec{k}\)
Pierwsza składowa rotacji:
\(\frac{ \partial E_z}{ \partial y}- \frac{ \partial E_y}{ \partial z} = -12cos(y-z) \cdot sin(y-z)-0\)
Pozostałe składowe są równe zeru co łatwo obliczyć.
Zatem rotacja ma wartość:
\(rot \vec{E}= \left(-12cos(y-z) \cdot sin(y-z) \right) \cdot \vec{i}\)
W zadaniach tego typu wystarcza umiejętność obliczania pochodnych cząstkowych funkcji złożonych. Sądzę, że właśnie w tym jest największy problem.
ad.a)
Argumentami dla gradientu i laplasjanu są funkcje skalarne. Gradient przekształca funkcję skalarną np. potencjał w funkcje wektorową a laplasjan przekształca funkcje skalarną w inna funkcję skalarną.
Nie jestem pewien czy potencjał miał mieć postać:
\(U=8sin^2(x)-9e^{(-yz)}^ {{ \frac{1}{2}}}\)
Ale ja będę obliczał dla postaci takiej jaka jest w zadaniu.
Gradient:
\(grad U = \left[ \frac{ \partial U}{ \partial x}, \frac{ \partial U}{ \partial y} , \frac{ \partial U}{ \partial z} \right]\)
Inny zapis gradientu:
\(gradU= \frac{ \partial U}{ \partial x} \cdot \vec{i} +\frac{ \partial U}{ \partial y} \cdot \vec{j}+\frac{ \partial U}{ \partial z} \cdot \vec{k}\)
Tutaj wyraźnie widać, że składowymi gradientu sa pochodne cząstkowe funkcji skalarnej (tu potencjału) względem współrzędnych x, y, z.
Dla przejrzystości zapisu obliczę każdą pochodną cząstkową oddzielnie:
\(\frac{ \partial U}{ \partial x}= 16 \cdot sin(x) \cdot cos(x)\)
\(\frac{ \partial U}{ \partial y}=9 \cdot e \cdot \frac{1}{2} \cdot (-yz)^{- \frac{1}{2}} \cdot z\)
\(\frac{ \partial U }{ \partial z}=9 \cdot e \cdot \frac{1}{2} \cdot (-yz)^{- \frac{1}{2}} \cdot y\)
Obliczyliśmy składowe gradientu.
Aby obliczyć laplasjan wystarczy jeszcze raz obliczyć pochodne cząstkowe ze składowych gradientu:
\(lapl U = \frac{ \partial ^2U}{ \partial x^2} + \frac{ \partial ^2U}{ \partial y^2} + \frac{ \partial ^2U}{ \partial z^2}\)
Znów dla przejrzystości obliczę każdą pochodną oddzielnie:
\(\frac{ \partial ^2U}{ \partial x^2}= 16cos(x)cos(x)-16sin(x)sin(x)\)
\(\frac{ \partial ^2U}{ \partial y^2}= 9 \cdot e \cdot \frac{1}{2}(- \frac{1}{2})(-yz)^{- \frac{3}{2}} (-z^2)\)
\(\frac{ \partial ^2U}{ \partial z^2 }= 9 \cdot e \cdot \frac{1}{2}(- \frac{1}{2}) (-yz)^{- \frac{3}{2}} (-y^2)\)
Wystarczy teraz zsumować te pochodne cząstkowe.
ad. b)
Dywergencja (źródłowość) oraz rotacja (nie żaden rotor) (inaczej wirowość) są funkcjami, których argumentami są funkcje wektorowe. Dywergencja przekształca funkcję wektorową (np. natężenie pola elektrycznego) na funkcję skalarną, a rotacja przekształca funkcję wektorową na inną funkcję wektorową.
Składowe wektora natężenia pola elektrycznego są następujące:
\(\vec{E}_x=8x^{-2}\)
\(\vec{E}_y=0\)
\(\vec{E}_z=6cos^2(y-z)\)
Dywergencja
\(div \vec{E} = \frac{ \partial E_x}{ \partial x}+ \frac{ \partial E_y}{ \partial y}+\frac{ \partial E_z}{ \partial z}\)
Obliczamy zatem pochodne cząstkowe ze składowych wektora natężenia pola elektrycznego, a następnie dodajemy je do siebie.
\(\frac{ \partial E_x}{ \partial x}=-16x^{-3}\)
\(\frac{ \partial E_y}{ \partial y}=0\)
\(\frac{ \partial E_z}{ \partial z} =12cos(y-z) \cdot sin(y-z)\)
Rotacja:
\(rot \vec{E}= \left( \frac{ \partial E_z}{ \partial y} - \frac{ \partial E_y}{ \partial z} \right) \cdot \vec{i} + \left( \frac{ \partial E_x}{ \partial z} - \frac{ \partial E_z}{ \partial x} \right) \cdot \vec{j} + \left( \frac{ \partial E_y}{ \partial x} - \frac{ \partial E_x}{ \partial y} \right) \cdot \vec{k}\)
Pierwsza składowa rotacji:
\(\frac{ \partial E_z}{ \partial y}- \frac{ \partial E_y}{ \partial z} = -12cos(y-z) \cdot sin(y-z)-0\)
Pozostałe składowe są równe zeru co łatwo obliczyć.
Zatem rotacja ma wartość:
\(rot \vec{E}= \left(-12cos(y-z) \cdot sin(y-z) \right) \cdot \vec{i}\)