Granica funkcji w nieskończoności

[alexx17]

Mam sobie coś takiego:

\(\lim_{x \to - \infty } \frac{x}{\sqrt{x^2+1}\)

No i używam tu sprzężenia. Na zdrowy rozum powinna wyjść -1, ale po sprzężeniu wychodzi samo 1. Jeszcze tego na wykładzie nie rozkminialiśmy, ale fajnie byłoby to wiedzieć

[Pol]

\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = -\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}} = -\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} = -\sqrt{1-\frac{1}{x^2+1}} \to -1\ gdzie \ x \to - \infty\)

[alexx17]

Wgl co ja napisałem.. Jakie sprzężenie.. Powiedz mi teraz mistrzu skąd ten minus?

[Pol]

\(|x| = -x \ dla \ x < 0\)

więc jeśli \(x \to - \infty\) to \(x = - (-x) = -|x|\)

[alexx17]

I rozumiem, że to jest ogólny sposób na takie granice, tak?

[Pol]

nie wiem czy ogólny, ja bym od tej strony to zrobił, podaj swój sposób co Ci wyszło 1

[alexx17]

Według wolframa to też -1. Więc moje rachunki są do bani. Ja to po prostu potraktowałem jakby to była \(+ \infty\), czyli wyciągniecie x spod pierwiastka.

[Pol]

jak x -> -oo to mamy do czynienia z ujemnymi liczbami, więc jak chcemy je wrzucic pod pierwiastek to trzeba pamietac o znaku, wiec tak jak wyzej

[alexx17]

Dziękóweczka za wytłumaczenie

[jola]

\(\lim_{x\to - \infty } \ \frac{x}{ \sqrt{x^2+1} } =\ \lim_{x\to - \infty }\ \frac{x}{|x| \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } } \ =\ \lim_{x\to - \infty } \frac{x}{-x \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }\ =\ \lim_{x\to - \infty } \frac{1}{- \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } } =-1\)

[Pol]

o i masz wersję alternatywną od Joli