Nierówności z 2 wartościami bezwzględnymi

[Kecik]

Proszę o pomoc

\(|x-3| + |x| \le 3\)

[jola]

\(1^ \circ \ \begin{cases}x<0\\-x=3 \le 3 \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x<0\\ x \ge 0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in \emptyset\)

\(\vee\)

\(2^ \circ \ \begin{cases}x \in <0;3)\\-x+3+x \le 3 \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}x \in <0;3)\\ 0 \le 0 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in <0;3)\)

\(\vee\)

\(3^ \circ \ \begin{cases}x \ge 3\\ x-3+x \le 3 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases} x \ge 3\\ x \le 3\end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=3\)

\(z\ 1^ \circ \ \ \vee \ \ 2^ \circ \ \ \vee \ \ 3^ \circ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in <0;3>\)

[escher]

Można także wykorzystać interpretację geometryczną. Lewa strona oznacza sumę odległości liczby x od 0 i od 3 na osi liczbowej. Oczywiście ta suma wynosi 3 na odcinku pomiędzy tymi liczbami, a poza nim jest większa. Stąd odpowiedź
\(x\in <0;3>\)
escher

[Kecik]

\(|1-x|-|1+x| \ge 2\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu

[escher]

To zinterpretujmy geometrycznie.
Nierówność mówi, że odległośc na osi od x do 1 ma być o co najmniej dwa większa od odległości x od -1.
Ponieważ odległość 1 i -1 wynosi 2, więc tak będzie w -1 oraz na lewo od tego punktu
\(x\in <-\infty, -1>\).


Można oczywiście też rozważyć trzy przypadki (x<=-1, -1<x<1, x>=1) i odpowiednio opuszczać wartość bezwzględną.
escher