granica funkcji, elastyczność funkcji, równie stycznej...

[justyska05]

5. Wyznacz elastyczność funkcji \(f(x)=xe^x\), dla \(x_0=2\). Podaj interpretacje wyniku.
4. Korzystając z reguły L`Hospitala oblicz granicę funkcji:
\(\lim_{x\to \infty} \frac{x^2+2x+2}{2x^2+6}\)

\(\lim_{x\to 0} \frac{sin x}{5x}\)

\(\lim_{x\to 1} \frac{ln x}{x-1}\)

\(\lim_{n\to +\infty} \frac{e^x}{x}\)

3. Wyznacz równanie stycznej do krzywej \(f(x)= x ln x\) w punkcie \(x_0=e^-^2\)

[radagast]

\(\lim_{x\to \infty} \frac{x^2+2x+2}{2x^2+6}=^H \lim_{x\to \infty} \frac{2x+2}{4x}=^H \lim_{x\to \infty} \frac{2}{4}= \frac{1}{2}\)

\(\lim_{x\to 0} \frac{sin x}{5x}=^H\lim_{x\to 0} \frac{cos x}{5}= \frac{1}{5}\)

\(\lim_{x\to 1} \frac{ln x}{x-1}=^H\lim_{x\to 1} \frac{ \frac{1}{x} }{1}= 1\)

\(\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x}=^H\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{1}= \infty\)

Czy to czasem nie było "nie korzystając z reguły de l' Hospitala ..."?

[radagast]

\(f'(x)= ln x+1\)
\(f'(e^{-2})= -1\)
No to styczna ma równanie \(y=-x+b\), a ponieważ przechodzi przez \(\left(e^{-2},-2e^{-2} \right)\) to
\(-2e^{-2} =-e^{-2}+b\), stąd \(b=-e^{-2}\)
i ostatecznie odp: szukana styczna ma równanie \(y=-x-e^{-2}\)
No potwierdzenie obrazek:

ScreenHunter_085.jpg (15.46 KiB) Przejrzano 367 razy