forum.zadania.info

ZADANIE 1
Przecinając prostokątny arkusz papieru, otrzymano kwadrat oraz mniejszy prostokąt. Z tego prostokąta również odcięto kwadrat i znów otrzymano mniejszy prostokąt. Sytuacja powtórzyła się jeszcze kilkakrotnie, aż do momentu otrzymania dziewięciu różnych kwadratów i jednego prostokąta o wymiarach Icm x 2cm. Jakie pole miał arkusz papieru?

Zadanie 2
Ania napisała trzy liczby pięciocyfrowe używajac do zapisu kazdej z tych liczb wszystkich cyfr spośród 1, 2, 3, 4, 5. Czy suma tych liczb jest podzielna przez 3? Czy liczba podzielna jest prze 9 ?

Zadanie 3

Dany jet kwadrat o boku długosci a. Na jego bokach, na zewnatrz, zbudowano trójkąty równoboczne. Wierzchołki kolejnych trójkątów, nie będąc wierzchołkami kolejnych trójkatów, nie będące wierzchołkami danego kwadratu, połączono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego czworokąta.

3.
Najpierw trzeba wykazać, że otrzymany czworokąt jest kwadratem.
Bok tego kwadratu ma długość:

a+2h
gdzie "h" to jest wysokość trójkąta równobocznego

1.
Jeśli na końcu otrzymano prostokąt o bokach 2cm i 1cm, to ostatnio otrzymany kwadrat (siódmy) mógł mieć bok 1cm lub 2cm.
I:
- siódmy kwadrat ma bok 1cm, czyli szósty prostokąt miał wymiary 3cm i 1cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, czyli piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 4cm
- piąty kwadrat ma bok 4cm, czyli czwarty prostokąt miał wymiary 4cm i 7cm
- czwarty kwadrat ma bok 7cm, czyli trzeci prostokąt miał wymiary 7cm i 11cm
- trzeci kwadrat ma bok 11cm, więc drugi prostokąt miał wymiary 11cm i 18cm
- drugi kwadrat ma bok 18cm, więc pierwszy prostokąt miał wymiary 18cm i 29cm
- pierwszy kwadrat ma bok 29cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 29cm i 47cm

II:
- siódmy kwadrat ma bok 2cm, więc szósty prostokąt miał wymiary 2cm i 3cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, więc piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 5cm
- piąty kwadrat ma bok 5cm, więc czwarty prostokąt miał wymiary 5cm i 8cm
.
.
.
- pierwszy kwadrat ma bok 44cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 44cm i 65cm

Zauważ, że boki kwadratów tworzą ciąg:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29
lub
2, 3, 5, 8, 13, 21, 44

taki, że od trzeciego wyrazu każdy jest sumą dwóch poprzednich

zad. 2 suma cyfr tej liczby wynosi zawsze 15, wiec jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9

zadanie 1.
Rozwinięcie jednego z rozwiązań
Mamy otrzymać 9 różnych kwadratów i prostokąt o bokach 1cm i 2cm. Gdy podzielimy prostokąt o bokach 1cm i 2cm otrzymamy dwa kwadraty o boku 1cm. Powierzchnia arkusza jest sumą kwadratów wyrazów ciągu Fibbonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Czyli mamy prostokąt 1cm x 2cm oraz dziewięć kwadratów o bokach odpowiednio 2cm, 3cm, 5cm, 8cm, 13cm, 21cm, 34cm, 55cm, 89cm. Arkusz papieru będzie mieć wymiary 89cm na 144cm (89cm + 55cm).
\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2+21^2+34^2+55^2+89^2=89(55+89)=89 \cdot 144=12816cm^2\)

marcin77 pisze:zadanie 1.
Rozwinięcie jednego z rozwiązań
Mamy otrzymać 9 różnych kwadratów i prostokąt o bokach 1cm i 2cm. Gdy podzielimy prostokąt o bokach 1cm i 2cm otrzymamy dwa kwadraty o boku 1cm. Powierzchnia arkusza jest sumą kwadratów wyrazów ciągu Fibbonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Czyli mamy prostokąt 1cm x 2cm oraz dziewięć kwadratów o bokach odpowiednio 2cm, 3cm, 5cm, 8cm, 13cm, 21cm, 34cm, 55cm, 89cm. Arkusz papieru będzie mieć wymiary 89cm na 144cm (89cm + 55cm).
\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2+21^2+34^2+55^2+89^2=89(55+89)=89 \cdot 144=12816cm^2\)

No, tak - ja zapisałam sobie, że będzie 7, a nie 9 takich kwadratów.

wieslaw-gg8947201 pisze:zad. 2 suma cyfr tej liczby wynosi zawsze 15, wiec jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9

To nie do końca prawda.
Każda z liczb zapisana przy pomocy tych cyfr dzieli się przez 3, więc suma tych liczb dzieli się przez 3 na pewno.

Zauważmy, że każda z tych liczb dzieli się przez 3, więc każda jest postaci 3n, gdzie n to liczba naturalna.

Mamy tu liczby postaci
\(a\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+d\cdot10+e=3n\)

a, b, c, d, e to oczywiście dane cyfry w dowolnej kolejności.
Jeśli zamienimy miejscami dwie dowolne cyfry tej liczby - na przykład cyfry a i d, to otrzymamy liczbę:
\(d\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+10a+e=a\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+d\cdot10+e-a\cdot10^4+10a-10d+10^4d=3k+9090d-9090a=3k+9090(d-a)=3k+9\cdot t\)
Otrzymamy w ten sposób sumę liczby 3n i liczby podzielnej przez 9.
Taką liczbę (sumę liczby podzielnej przez 3 i liczby podzielnej przez 9) otrzymamy przy każdej wymianie dwóch cyfr miejscami.

Suma takich trzech liczb:
\(3k+9t+3k+9p+3k+9r=9(k+t+p+r)\)
dzieli się więc przez 9.

liczba dzieli sie przez 9 jezeli suma jej cyfr dzieli sie przez 9, tzn., ze jak zmienimy kolejnosc czynnikow sumy, to wyjdzie nie 15, tylko np. 18?

rozpatrywalem tylko jedna liczbe pieciocyfrowa, a nie sume tych trzech liczb. Mea culpa

Jeśli w liczbie n, zapisanej przez dane cyfry, zmienimy cyfry miejscami, to otrzymamy sumę tej liczby n i liczby podzielnej przez 9. To suma takich trzech liczb podzielna jest przez 9.

zgadzam sie z przedmowca