3 zadania liga matematyczna

[greta17]

ZADANIE 1
Przecinając prostokątny arkusz papieru, otrzymano kwadrat oraz mniejszy prostokąt. Z tego prostokąta również odcięto kwadrat i znów otrzymano mniejszy prostokąt. Sytuacja powtórzyła się jeszcze kilkakrotnie, aż do momentu otrzymania dziewięciu różnych kwadratów i jednego prostokąta o wymiarach Icm x 2cm. Jakie pole miał arkusz papieru?

Zadanie 2
Ania napisała trzy liczby pięciocyfrowe używajac do zapisu kazdej z tych liczb wszystkich cyfr spośród 1, 2, 3, 4, 5. Czy suma tych liczb jest podzielna przez 3? Czy liczba podzielna jest prze 9 ?

Zadanie 3

Dany jet kwadrat o boku długosci a. Na jego bokach, na zewnatrz, zbudowano trójkąty równoboczne. Wierzchołki kolejnych trójkątów, nie będąc wierzchołkami kolejnych trójkatów, nie będące wierzchołkami danego kwadratu, połączono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego czworokąta.

[arqivus]

3.
Najpierw trzeba wykazać, że otrzymany czworokąt jest kwadratem.
Bok tego kwadratu ma długość:

a+2h
gdzie "h" to jest wysokość trójkąta równobocznego

[irena]

1.
Jeśli na końcu otrzymano prostokąt o bokach 2cm i 1cm, to ostatnio otrzymany kwadrat (siódmy) mógł mieć bok 1cm lub 2cm.
I:
- siódmy kwadrat ma bok 1cm, czyli szósty prostokąt miał wymiary 3cm i 1cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, czyli piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 4cm
- piąty kwadrat ma bok 4cm, czyli czwarty prostokąt miał wymiary 4cm i 7cm
- czwarty kwadrat ma bok 7cm, czyli trzeci prostokąt miał wymiary 7cm i 11cm
- trzeci kwadrat ma bok 11cm, więc drugi prostokąt miał wymiary 11cm i 18cm
- drugi kwadrat ma bok 18cm, więc pierwszy prostokąt miał wymiary 18cm i 29cm
- pierwszy kwadrat ma bok 29cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 29cm i 47cm

II:
- siódmy kwadrat ma bok 2cm, więc szósty prostokąt miał wymiary 2cm i 3cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, więc piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 5cm
- piąty kwadrat ma bok 5cm, więc czwarty prostokąt miał wymiary 5cm i 8cm
.
.
.
- pierwszy kwadrat ma bok 44cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 44cm i 65cm

Zauważ, że boki kwadratów tworzą ciąg:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29
lub
2, 3, 5, 8, 13, 21, 44

taki, że od trzeciego wyrazu każdy jest sumą dwóch poprzednich

[wieslaw-gg8947201]

zad. 2 suma cyfr tej liczby wynosi zawsze 15, wiec jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9

[marcin77]

zadanie 1.
Rozwinięcie jednego z rozwiązań
Mamy otrzymać 9 różnych kwadratów i prostokąt o bokach 1cm i 2cm. Gdy podzielimy prostokąt o bokach 1cm i 2cm otrzymamy dwa kwadraty o boku 1cm. Powierzchnia arkusza jest sumą kwadratów wyrazów ciągu Fibbonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Czyli mamy prostokąt 1cm x 2cm oraz dziewięć kwadratów o bokach odpowiednio 2cm, 3cm, 5cm, 8cm, 13cm, 21cm, 34cm, 55cm, 89cm. Arkusz papieru będzie mieć wymiary 89cm na 144cm (89cm + 55cm).
\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2+21^2+34^2+55^2+89^2=89(55+89)=89 \cdot 144=12816cm^2\)

[irena]

zadanie 1.
Rozwinięcie jednego z rozwiązań
Mamy otrzymać 9 różnych kwadratów i prostokąt o bokach 1cm i 2cm. Gdy podzielimy prostokąt o bokach 1cm i 2cm otrzymamy dwa kwadraty o boku 1cm. Powierzchnia arkusza jest sumą kwadratów wyrazów ciągu Fibbonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Czyli mamy prostokąt 1cm x 2cm oraz dziewięć kwadratów o bokach odpowiednio 2cm, 3cm, 5cm, 8cm, 13cm, 21cm, 34cm, 55cm, 89cm. Arkusz papieru będzie mieć wymiary 89cm na 144cm (89cm + 55cm).
\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2+21^2+34^2+55^2+89^2=89(55+89)=89 \cdot 144=12816cm^2\)

No, tak - ja zapisałam sobie, że będzie 7, a nie 9 takich kwadratów.

[irena]

zad. 2 suma cyfr tej liczby wynosi zawsze 15, wiec jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9

To nie do końca prawda.
Każda z liczb zapisana przy pomocy tych cyfr dzieli się przez 3, więc suma tych liczb dzieli się przez 3 na pewno.

Zauważmy, że każda z tych liczb dzieli się przez 3, więc każda jest postaci 3n, gdzie n to liczba naturalna.

Mamy tu liczby postaci
\(a\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+d\cdot10+e=3n\)

a, b, c, d, e to oczywiście dane cyfry w dowolnej kolejności.
Jeśli zamienimy miejscami dwie dowolne cyfry tej liczby - na przykład cyfry a i d, to otrzymamy liczbę:
\(d\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+10a+e=a\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+d\cdot10+e-a\cdot10^4+10a-10d+10^4d=3k+9090d-9090a=3k+9090(d-a)=3k+9\cdot t\)
Otrzymamy w ten sposób sumę liczby 3n i liczby podzielnej przez 9.
Taką liczbę (sumę liczby podzielnej przez 3 i liczby podzielnej przez 9) otrzymamy przy każdej wymianie dwóch cyfr miejscami.

Suma takich trzech liczb:
\(3k+9t+3k+9p+3k+9r=9(k+t+p+r)\)
dzieli się więc przez 9.

[wieslaw-gg8947201]

liczba dzieli sie przez 9 jezeli suma jej cyfr dzieli sie przez 9, tzn., ze jak zmienimy kolejnosc czynnikow sumy, to wyjdzie nie 15, tylko np. 18?

[wieslaw-gg8947201]

rozpatrywalem tylko jedna liczbe pieciocyfrowa, a nie sume tych trzech liczb. Mea culpa

[irena]

Jeśli w liczbie n, zapisanej przez dane cyfry, zmienimy cyfry miejscami, to otrzymamy sumę tej liczby n i liczby podzielnej przez 9. To suma takich trzech liczb podzielna jest przez 9.

[wieslaw-gg8947201]

zgadzam sie z przedmowca