Prosta R3

[mateqi]

Mam takie 2 zadanka

1)
Znaleźc punkt Q symetryczny do pkt P=(1,-2,7) wzgledem prostej l : x=1-3t i y=1+t i z=2-t

2)
Znalesc punkty prostej k: x=1-t i y=-2+t i z=-1-t odlegle od pkt Q (2,3,6) o 7 pierwiastkow z 3

[radagast]

Mam takie 2 zadanka
1)
Znaleźc punkt Q symetryczny do pkt P=(1,-2,7) wzgledem prostej l : x=1-3t i y=1+t i z=2-t

\(l(t)= \left( 1-3t,1+t,2-t\right)\)
\(\left[ -3,1,-1\right] \parallel l\)
\(\left[ -3,1,-1\right] \perp \pi\), \(\pi\) to płaszczyzna prostopadła do prostej l , przechodząca przez P
\(\pi : \ -3x+y-z+C=0\)
\(\pi : \ -3-2-7+C=0 \Rightarrow C=12\)
\(\pi : \ -3x+y-z+12=0\)
wspólny punkt \(\pi\) i\(l\) to \(S=\left( \frac{35}{11}, \frac{3}{11}, \frac{30}{11}\right)\) chyba, że się pomyliłam w rachunkach, czego wykluczyć nie mogę)
No i teraz \(\vec{SP} = \vec{QS}\) więc jeśli \(Q= \left( a,b,c\right)\) to
\(1- \frac{35}{11}=a- \frac{35}{11}\) czyli \(a =- \frac{59}{11}\)
b,c wylicz sobie sam i ewentualnie znajdź błąd rachunkowy

[radagast]

2)
Znalesc punkty prostej k: x=1-t i y=-2+t i z=-1-t odlegle od pkt Q (2,3,6) o 7 pierwiastkow z 3

\((1-t-2)^2+(-2+t-3)^2+(-1-t-6)^2=(7 \sqrt{3})^2\)
\((t+1)^2+(t-5)^2+(t+7)^2=147\)
\(3t^2+6t-72=0\)
rozwiązać równanie kwadratowe , podstawić t do przedstawienia parametrycznego prostej (tu wychodzi ładnie)