granice ciagu

[melania]

Obliczyc granice ciagu \(a_n\), jesli:

a) \(a_n = \frac{(n+2)^4-(n-2)^4}{(n+2)^4+(n-2)^4}\)

b) \(a_n = \frac{n(n^2+5) \sqrt[3]{n} }{(n^2+1) \sqrt{n^3+5}(n+3) }\)

c) \(a_n = \sqrt{4n^2+3n}-2n\)

[Lbubsazob]

\(\lim_{n\to \infty }\sqrt{4n^2+3n}-2n =\lim_{n\to \infty } \frac{ \left( \sqrt{4n^2+3n}-2n\right) \left(\sqrt{4n^2+3n}+2n \right) }{\sqrt{4n^2+3n}+2n}=\lim_{n\to \infty } \frac{4n^2+3n-4n^2}{\sqrt{4n^2+3n}+2n} = \\
=\lim_{n\to \infty } \frac{3n}{2n \sqrt{1+ \frac{3}{4n^2} }+2n }=\frac{3}{4}\)

[Lbubsazob]

\(\lim_{n\to \infty} \frac{(n+2)^4-(n-2)^4}{(n+2)^4+(n-2)^4}=\lim_{n\to \infty} \frac{(n+2)^4 \left[ 1- \left( \frac{n-2}{n+2} \right)^4 \right] }{(n+2)^4 \left[1+\left( \frac{n-2}{n+2} \right)^4 \right] }=\lim_{n\to \infty} \frac{1- \left( \frac{n-2}{n+2} \right)^4}{1+\left( \frac{n-2}{n+2} \right)^4} =0\)

[Galen]

a)
Licznik będzie stopnia niższego niż 4,a mianownik stopnia czwartego,zatem granica jest równa zero.
c)
\(\lim_{n\to \infty } ( \sqrt{4n^2+3n}-2n)= \lim_{n\to \infty } \frac{ (\sqrt{4n^2+3n}-2n)( \sqrt{4n^2+3n}+2n) }{ \sqrt{4n^2+3n}+2n }= \lim_{n\to \infty } \frac{4n^2+3n-4n^2}{n( \sqrt{4+ \frac{3}{n} }+2) }= \frac{3}{4}\)

[Lbubsazob]

b) Zauważ, że po wymnożeniu tego wszystkiego w liczniku największy składnik powstałej sumy będzie równy \(n \cdot n^2 \cdot n^{\frac{1}{3}} = n^{ \frac{10}{3}}\), a w mianowniku \(n^2 \cdot n \cdot n^{ \frac{3}{2}}=n^{ \frac{9}{2}}\) (ponieważ \(\sqrt{n^3+5}\le \sqrt{n^3}\)). Granicą \(\frac{n^{ \frac{10}{3}}}{n^{ \frac{9}{2}} }=n^{- \frac{7}{6}}\) jest \(0\), gdy \(n\) dąży do nieskończoności.