Pochodna cząstkowa

[beemyself]

Oblicz pochodną cząstkową n i po A

\(W=ln \left(\sqrt[kt]{\frac{n}{A}} \right)\)

z góry dziękuję za pomoc;)

[ewelawwy]

\(\frac { \partial }{ \partial n}ln \left(\sqrt[kt]{\frac{n}{A}} \right)=\frac 1{\sqrt[kt]{\frac{n}{A}}}\cdot ((\frac nA)^{\frac 1{kt}})'=\sqrt[kt]{\frac An}\cdot \frac 1{ktA^{\frac 1{kt}}}\cdot n^{\frac 1{kt}-1}=\frac 1{kt\sqrt[kt]n}\cdot \sqrt[kt]{n^{(1-kt)}}=\frac 1{kt} \cdot \sqrt[kt]{n^{(1-kt)-1}}=\\
=\frac {\sqrt[kt]{n^{-kt}}}{kt} =\frac 1{nkt}\)

\(\frac { \partial }{ \partial A}ln \left(\sqrt[kt]{\frac{n}{A}} \right)=\frac 1{\sqrt[kt]{\frac{n}{A}}}\cdot ((\frac nA)^{\frac 1{kt}})'=\sqrt[kt]{\frac An}\cdot (-\frac {n^{\frac 1{kt}}}{kt})\cdot A^{-\frac 1{kt}-1}=-\frac{A^{\frac 1{kt}}}{kt}\cdot A^{-\frac 1{kt}-1}=-\frac 1{Akt}\)


http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% ... 9%29%29%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% ... 9%29%29%29

[beemyself]

dzięki wielkie;) wyszło tak jak sobie to policzyłem;) dałoby radę zrobić po t jeszcze? bo tego nie potrafię rozgryźć

[ewelawwy]

\(\frac { \partial }{ \partial t}ln \left(\sqrt[kt]{\frac{n}{A}} \right)=\frac { \partial }{ \partial t}ln \left((\frac{n}{A})^{\frac 1{kt}} \right)=\frac { \partial }{ \partial t}ln \left(((\frac{n}{A})^{\frac 1k})^{\frac 1t} \right)=\frac 1{\sqrt[kt]{\frac{n}{A}} }\cdot (((\frac{n}{A})^{\frac 1k})^{\frac 1t})'\)
dla ułatwienia ozn. \((\frac{n}{A})^{\frac 1k}=a\)
wtedy
\((a^{\frac 1t})'=((e^{\ln a})^{\frac 1t})'=(e^{\ln a\cdot \frac 1t})'=e^{\ln a\cdot \frac 1t} \cdot (\frac 1t\cdot \ln a)'=a^{ \frac 1t}\cdot (-\frac {\ln a}{t^2})=-\frac{a^{\frac 1t}\cdot \ln a}{t^2}\)
stąd:
\((((\frac{n}{A})^{\frac 1k})^{\frac 1t})'=-\frac{((\frac{n}{A})^{\frac 1k})^{\frac 1t}\cdot \ln ((\frac{n}{A})^{\frac 1k})}{t^2}\)
zatem:
\(\frac { \partial }{ \partial t}ln \left(\sqrt[kt]{\frac{n}{A}} \right)=\frac 1{\sqrt[kt]{\frac{n}{A}} }\cdot \left(-\frac{((\frac{n}{A})^{\frac 1k})^{\frac 1t}\cdot \ln ((\frac{n}{A})^{\frac 1k})}{t^2}\right)=-\frac{\frac 1k \ln (\frac nA)}{t^2}=\frac{\ln \frac An}{kt^2}\)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d% ... 9%29%29%29

[beemyself]

ślicznie:D pewnie siedziałbym nad tym jeszcze kilka dni z zerowym skutkiem;) dzięki wielkie za pomoc jeszcze raz;)