Granice ciągów

[lubiepaczki]

Obliczyć granice ciągów:
\(a) \lim_{n\to \infty} \frac{n^{2}}{n+1} - \frac{n^{3}}{n^{2}+1}
b) \lim_{n\to \infty} \frac{ \left( n+2\right)^{10} - n^{10} - 20n^{9} }{n^{8}-2n^{4}+1}
c) \lim_{n\to \infty} \sqrt{n \left(n- \sqrt{n^{2}-1} \right) }
d) \lim_{n\to \infty} n \sqrt{n} \left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} -2 \sqrt{n} \right)
e) \lim_{n\to \infty} \frac{log n^{2}}{log n^{3}}\)

W jednym temacie może być maksymalnie 5 zadań, dlatego też podzieliłam ten temat na 3 części. Pozostałe tematy znajdują się pod adresami:
http://forum.zadania.info/viewtopic.php ... 66#p108266
http://forum.zadania.info/viewtopic.php ... 70#p108270
Lbubsazob

[radagast]

\(a)
\lim_{n\to \infty} \frac{n^{2}}{n+1} - \frac{n^{3}}{n^{2}+1}= \lim_{n\to \infty} \frac{n^{4}+4-n^4-n^3}{ \left( n+1\right) \left(n^{2}+1 \right) } = \lim_{n\to \infty} \frac{4-n^3}{ n^3+n^2+n+1 } = \lim_{n\to \infty} \frac{ \frac{4}{n^3} -1}{ 1+ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} } =-1\)

[radagast]

\(b)
\lim_{n\to \infty} \frac{ \left( n+2\right)^{10} - n^{10} - 20n^{9} }{n^{8}-2n^{4}+1}= \lim_{n\to \infty}\frac{n^{10}+10n^9 \cdot 2^1+ { 10\choose 2} n^82^2+... - n^{10} - 20n^{9} }{n^{8}-2n^{4}+1}= \lim_{n\to \infty}\frac{ { 10\choose 2} n^8 \cdot 2^2+... }{n^{8}-2n^{4}+1}=
\lim_{n\to \infty}\frac{ 180n^8+... }{n^{8}-2n^{4}+1}=180\)

(to co w kropeczkach nie ma znaczenia , bo ma za niski stopień

[radagast]

\(c)
\lim_{n\to \infty} \sqrt{n \left(n- \sqrt{n^{2}-1} \right) }= \lim_{n\to \infty} \sqrt{n} \sqrt{n- \sqrt{n^{2}-1} }= \lim_{n\to \infty} \sqrt{n} \sqrt{n- \sqrt{n^{2}-1} } \cdot \frac{\sqrt{n+ \sqrt{n^{2}-1} }}{\sqrt{n+ \sqrt{n^{2}-1} }} =
\lim_{n\to \infty} \sqrt{n} \sqrt{n^2- n^{2}+1 } \cdot \frac{1}{\sqrt{n+ \sqrt{n^{2}-1} }} = \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+ \sqrt{n^{2}-1} }} =\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+ \sqrt{1- \frac{1}{n^2} } }} = \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
mam nadzieję, ze się nie pomyliłam... ale juz odpuszczam. Dobranoc

[lubiepaczki]

Wielkie dzięki. Udało mi się zatrybić, o co chodzi w tych rozwiązanych przykładach