obliczyć granice

[suspicious20]

\(a_n = (n^2-1) sin{ \frac{1}{n-1}}\)

Odp: \(+ \infty\)

[suspicious20]

\(a_n = \frac{cos n}{n^2 \cdot sin {\frac{1}{n} }}\)
Odp: 0 to pewnie bedzie tw o 3 ciagach ale nie wiem jak je zastosowac skoro jest dzielenie

[suspicious20]

\(a_n = \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{n!}\)

[Galen]

\(\frac{sin( \frac{1}{n-1}) }{ \frac{1}{n^2-1} }= \frac{sin( \frac{1}{n-1}) }{ \frac{1}{(n-1)(n+1)} }= \frac{sin( \frac{1}{n-1}) }{ \frac{1}{n-1} } \cdot \frac{1}{ \frac{1}{n+1} }= \frac{sin( \frac{1}{n-1}) }{ \frac{1}{n-1} } \cdot (n+1)\)
Masz teraz przypadek sinx nad x przy x dążącym do zera,a taka granica wynosi 1.
Ostatecznie
\(\lim_{x\to \infty }(a_n)=1 \cdot \infty =+ \infty\)

[Galen]

2)
\(\frac{cosn}{n^2sin(\frac{1}{n})}=\frac{cosn}{n}\cdot \frac{ \frac{1}{n} }{sin( \frac{1}{n}) }\)

Ułamek z sinusem zmierza do 1.
Pozostaje oszacować \(\frac{cosn}{n}\)
\(\frac{-1}{n}< \frac{cosn}{n}< \frac{1}{n}\)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{-1}{n}= \lim_{n\to \infty } \frac{1}{n} =0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; \lim_{n\to \infty } \frac{cosn}{n}=0\)
Z tw. o trzech ciągach.

W obu zadaniach jest zastosowana granica:
\(\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}= \frac{x}{sinx}=1\)

[suspicious20]

a na to z silnią masz jakiś pomysł ? wystarczy podpowiedz

[alexx17]

Próbowałeś z d'Alemberta? Wychodzi piękne zero