zbadać zbieżność szeregu:

[suspicious20]

zbadać zbieżność szeregu:
\(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{2n +2}\)

odp. rozbieżny

[suspicious20]

a moze jest bład w odpowiedzi ? Bo :
\(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{2n +2}\) \(= \frac{1}{n(2+ \frac{2}{n}) }\)
a \(\frac{1}{n} \to 0\)
zatem \(a_n \to 0\)

i z warunku koniecznego ale nie wiem jak go sformułowac tak aby to bylo logicznie poprawne. a nie chce przepisywac z ksiazki bo i tak nie zrozumiem. Prosze o wytlumaczenie

[Pol]

warunek konieczny zbieżności nie mówi nam że szereg jest zbieżny,
tylko że jest taki lub taki i to trzeba zbadać, wykazać jaki jest

z kryterium porównawczego mamy:

\(\bigwedge_{n \in N} \frac{1}{2n+2} \ge \frac{1}{2n}\)

szereg \(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{2n} = \frac 1 2 \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{n}\) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny,
stąd nasz szereg \(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{2n +2}\) też jest rozbieżny

[suspicious20]

a nie powinien byc odwrotny znak ? do tego
\(\bigwedge_{n \in N} \frac{1}{2n+2} \ge \frac{1}{2n}\)
powinie byc chyba ten znak :\(\le\)

[Pol]

masz rację, moja wpadka

\(\bigwedge_{n \in N} \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{2(n+n)} = \frac{1}{4n}\)

i dalsze rozumowanie analogicznie powtórzyć, już powinno być ok
sorki za tamto

[suspicious20]

i dlaczego szereg \(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{2n}= \frac{1}{2}\)???
przeciez
\(\frac{1}{2n} \to 0\)

[Pol]

jeszcze raz, tym razem poprawnym szacowaniem:

\(\bigwedge_{n \in N} \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{2(n+n)} = \frac{1}{4n}\)

szereg\(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{4n} = \frac 1 4 \cdot \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{n}\) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny,
stąd nasz szereg \(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{2n +2}\) też jest rozbieżny (na podstawie kryt. porównawczego)

[suspicious20]

w dalszym ciągu nie rozumiem dlaczego :
szereg\(\sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{4n} = \frac 1 4\)

[Pol]

ten szereg, czy też jego suma, nie jest równy \(\frac 1 4\) tylko \(\frac 1 4 \cdot \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{n}\),
mozna część całkowitą (czynnik) wyrażenia \(a_n\) pod szeregiem wyciągnąć przed znak sumy

[suspicious20]

nie mialem czegos takiego jak szereg harmoniczny. nie daloby sie jakos obejsc tego ?

[suspicious20]

nie wiedzialem o tym, ze tak mozna... to jest tak jak sie nie mialo czegos w liceum a na uczelni ma sie zajebistych wykladowcow z matmy...

[Pol]

w kryterium porównawczym wykorzystuje się szeregi harmoniczne, geometryczne i później w dowodzeniu wykazuje się na ich podstawie czy badany szereg jest zbieżny czy rozbieżny, natomiast zbieżność szeregów takich jak harmoniczny czy geometryczny jest dowodzona na wykładzie lub w książkach i już dowodu na ich zbieżność nie trzeba powtarzać

kryt d'Alamberta i Cauchyego do Twojego szeregu odpada (tak mi sie wydaje, nie przeliczyłem limesów)
natomiast warunek konieczny zbieznosci jest przydatny wtedy, jesli sie okaze ze nie jest spelniony, wtedy bez dalszych obliczen mozna stwierdzic ze dany szereg jest rozbiezny

[suspicious20]

dobra znalazlem w ksiązce dzieki a ten szereg harmoniczny jest takim elementarnym szeregiem tak ??

[Pol]

no mozna powiedziec ze elementarnym, rozpatrywane sa tez szeregi z wyrażeniem \(\frac 1 {n^{\alpha}}\) i w zależności od \(\alpha\) mamy do czynienia albo ze zbieżnym albo z rozbieznym szeregiem, natomiast dla \(\alpha=1\) mamy szereg jak wyzej

[suspicious20]

bardzo mi pomogles. dzieki tak to powinno byc przedstawione na wykladach