obliczyć granicę:
\(a_n = (\frac{4^n +2}{7^n +1})^{ \frac{1}{n} }\)
nie mam pomysłu jak sie za to zabrać... tu chyba trzeba połączyc definicje literki e z tw o trzech ciagach ale nie wiem jak.
Odp: \(\frac{4}{7}\)
granica z e
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
- Podziękowania: 97 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
- Podziękowania: 97 razy
- Płeć:
Re: granica z e
Proszę jeszcze o wytłumaczenie tego przykładu:
\(a_n = \frac{1}{n} e^{sin( \frac{1}{n})}\)
\(a_n = \frac{1}{n} e^{sin( \frac{1}{n})}\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 285
- Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
- Podziękowania: 97 razy
- Płeć:
-
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
Re: granica z e
\(\( \frac{4^n +2}{7^n +1} \)^{ \frac{1}{n} } = \frac{\sqrt[n]{4^n+2}}{\sqrt[n]{7^n+1}}\)
\(\frac{\sqrt[n]{4^n}}{\sqrt[n]{7^n+7^n}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+2}}{\sqrt[n]{7^n+1}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+4^n}}{\sqrt[n]{7^n}}\)
stąd mamy że
\(\lim_{n\to \infty } \( \frac{4^n +2}{7^n +1} \)^{ \frac{1}{n} } = \frac 4 7\)
\(\frac{\sqrt[n]{4^n}}{\sqrt[n]{7^n+7^n}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+2}}{\sqrt[n]{7^n+1}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+4^n}}{\sqrt[n]{7^n}}\)
stąd mamy że
\(\lim_{n\to \infty } \( \frac{4^n +2}{7^n +1} \)^{ \frac{1}{n} } = \frac 4 7\)