baza, z parametrem

[smmileey]

Sprawdzić, dla jakiego x, wektory: \((1,x,3),(2x,4,6),(0,1,1)\) tworzą bazę w przestrzeni \((R^3,R,+,-)\).

Wiem, że można obliczyć wyznacznik macierzy utworzonej z takich wektorów i przyrównac go do zera. Wtedy otrzymamy, dla jakich wartości x te wektory są zależne i będzie można wskazać pozostałe wartości.

Moje pytanie brzmi, jak to zrobić wychodząc od założenia, że wektory te muszą być niezależne. Wiem, że musze ułożyć równanie:
\(\alpha (1,x,3) + \beta (2x,4,6) + \gamma (0,1,1)= (0,0,0)\). Ale w dalszej części otrzymam np., że:
\(\alpha =-2x* \beta\). Z tego by wynikało, że x musi być równy zero, a potem te rozwiązanie wykluczyć, tak? To jest jedyne rozwiązanie?

EDIT:
Doszedłem do wniosku, że należy rozwiązać otrzymany układ równań (uzależnić np. skalary \(\alpha\) i \(\gamma\) od \(\beta\) i podstawić), dojdziemy wówczas do zapisu, że \(\beta * (2x^2-6x+2)=0\). Jeśli \(\beta =0\) to oczywiście układ wektorów jest niezależny. Jeśli natomiast wartość wyrażenia w nawiasie jest równa zero, to oznacza to, że przy takim dobraniu x, wektory te sa od siebie zależne. W odpowiedzi należy więc wykluczyć oba rozwiązania tego równania, pozostałe \(x \in R\) są rozwiązaniami zadania. Dobrze rozumuję?

[Pol]

z równania:
\(\alpha (1,x,3) + \beta (2x,4,6) + \gamma (0,1,1)= (0,0,0)\)

otrzymasz układ:
\(\{ \alpha + 2x\beta = 0
\alpha x + 4\beta + \gamma = 0
3\alpha + 6\beta + \gamma = 0\)

wektory tworzą bazę, jeżeli układ jest oznaczony, czyli

\(\| 1\ 2x\ 0
x \ 4\ 1
3\ \ 6\ 1\| \neq 0\)

stąd:

\(4+6x-2x^2-6 \neq 0
-2x^2+6x-2 \neq 0
x^2-3x+2 \neq 0
x \neq -2 \ \wedge \ x \neq -1\)

Odp. Dla \(x \in R \setminus \{-2, \ -1\}\)

[smmileey]

Pomyliłeś się przy dzieleniu przez -2.
Powinieneś otrzymać:
\(x^2-3x+1\neq 0.\)
Co sprowadza się do rozwiązania podanego przeze mnie, czyli rozumuję dobrze.
Dzięki.

[Pol]

Tak, zgadza się, pomyłka była, ale wynik był ładny i jakoś nie podejrzewałem że coś zawaliłem