wykazać równosć

[anetaaneta1]

czy prawdziwa jest równość
\(\frac{1}{2} ln|tg^2x+1|=-ln|cosx|\)

Z góry wielkie dzięki

[domino21]

\(\frac{1}{2} \ln |tg^2 x +1| =-\ln |cos x|
\frac{1}{2} \ln |tg^2x +1| +\ln |cos x| =0
\ln |tg^2 x +1| +2\ln |cos x| =0
\ln|tg^2 x +1| + \ln |cos^2 x|=0
\ln |(tg^2x +1) \cdot \cos ^2x | =0
\ln |\sin^2 x +\cos^2 x|=0
\ln 1 =0\)

zatem równość jest prawdziwa

[bartek]

\(\sqrt{tg^2x+1}= \sqrt{ \frac{sin^2x}{cos^2x}+1 }= \sqrt{ \frac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x} }= \sqrt{ \frac{1}{cos^2x}}= \frac{1}{cosx}\)

[Galen]

\(ln\sqrt{tg^2x+1}=ln\frac{1}{cosx}\\
\sqrt{tg^2x+1}=\frac{1}{cosx}\)
Obustronnie do kwadratu:
\(tg^2x+1=\frac{1}{cos^2x}\\
\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{cos^2x}{cos^2x}=\frac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}\)
Oczywiście trzeba dopisać założenia...