całki trygonometryczne

[anetaaneta1]

Obliczyć całkę
a) \(\int tg^5x dx\)
b)\(\int ctg^4x dx\)
c)\(\int ctg^6x dx\)

Z góry dzięki

[bartek]

\(1)
\int tg^5xdx= \int (\frac{sinx}{cosx})^5dx= \begin{vmatrix} t=cosx \\ dt=-sinxdx \Rightarrow sinxdx=-dt\end{vmatrix}=
=\int -\frac{1}{t^5}dt= -\frac{t^{-4}}{-4} +C= \frac{t^{-4}}{4}+C= \frac{(cosx)^{-4}}{4}+C\)

[domino21]

krzyżak, a gdzie zginął \(\sin^4 x\) w liczniku?

[bartek]

Masz rację. Też to właśnie zauważyłem. Zaraz postaram się to poprawić. Dzięki.

[bartek]

\(\int \frac{sin^2x \cdot sin^2x \cdot sinx}{cos^5x}= \int \frac{(1-cos^2x)(1-cos^2x)sinx}{cos^5x}dx=
= \int \frac{(1-cos^2)^2 \cdot sinx}{cos^5x}dx= \begin{vmatrix} t=cosx \\ dt=-sinxdx \Rightarrow -dt=sinxdx \end{vmatrix}=
= -\int \frac{(1-t^2)^2}{t^5}dt= -\int \frac{1-2t^2+t^4}{t^5}dt= -\int \frac{1}{t^5}- \frac{2}{t^3}+ \frac{1}{t}dt=
=-\frac{1}{-4t^4}+\frac{2}{-2t^2}-ln|t|+C= \frac{1}{4cos^4x}- \frac{1}{cos^2x}-ln|cosx|+C\)