Sprawdzić jednostajną zbieżność ciągów funkcji:
a) \(f_{n}(x) = \frac{n}{x+n}, x \in (0, \infty )\)
b) \(f_{n}(x) = x^{n}, x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]\)
Czy trzeba skorzystać z definicji:
\(\bigwedge_{ \varepsilon >0} \bigvee_{ \delta >0} \bigwedge_{x \in A}\bigwedge_{y \in A}(g_{1}(x,y) < \delta \Rightarrow g_{2}(f(x),f(y))< \varepsilon)\)?
Na podstawie definicji trzeba rozwiązać to zadanie?
Jednostajna zbieżność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Pol
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
Re: Jednostajna zbieżność
Najpierw zbadać zbieżność punktową:
Niech \(x \in (0, \infty )\)
\(f_n(x) = \frac{n}{x+n} \ \longrightarrow _{n\to \infty } \ 1\)
Funkcją \(f\) do której punktowo zbiega ciąg funkcyjny jest funkcja określona wzorem: \(f(x)= 1\)
Teraz możemy skorzystać z twierdzenia (równoważnej definicji), które mówi że ciąg funkcyjny \(f_n\) jest zbieżny jednostajnie do funkcji \(f\) wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = 0\)
W przypadku naszego ciągu mamy:
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0, \infty )} \| \frac n {x+n}-1 \|=
\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0, \infty )} \| \frac {-x} {x+n} \|=\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0, \infty )} \( \frac {x} {x+n} \) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0\)
Ciąg funkcyjny \(f_n\) nie jest zbieżny jednostajnie
Niech \(x \in (0, \infty )\)
\(f_n(x) = \frac{n}{x+n} \ \longrightarrow _{n\to \infty } \ 1\)
Funkcją \(f\) do której punktowo zbiega ciąg funkcyjny jest funkcja określona wzorem: \(f(x)= 1\)
Teraz możemy skorzystać z twierdzenia (równoważnej definicji), które mówi że ciąg funkcyjny \(f_n\) jest zbieżny jednostajnie do funkcji \(f\) wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = 0\)
W przypadku naszego ciągu mamy:
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0, \infty )} \| \frac n {x+n}-1 \|=
\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0, \infty )} \| \frac {-x} {x+n} \|=\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0, \infty )} \( \frac {x} {x+n} \) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0\)
Ciąg funkcyjny \(f_n\) nie jest zbieżny jednostajnie
Re: Jednostajna zbieżność
Bardzo dziękuje Pol. Świetnie, krok po kroku 
teraz jest już dla mnie zrozumiałe.
A co do b)
\(f_n(x) = x^{n} \ \longrightarrow _{n\to \infty } \ \infty\) o ile się nie mylę
Skoro jest nieskończoność, to sam nie wiem, czy można dalej wyznaczać, jakby co, to piszę:
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \| x^{n}- \infty \|=
\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \| \infty - \infty \|=...\)
Pewnie jest źle, bo \(x\) musi należeć do przedziału \([-\frac{1}{2} , \frac{1}{2} ]\), więc zapewne nie będzie to \(\infty\). Ale pamiętam, że \(\lim_{n\to \infty } 2^{n} = \infty\), \(8^{n}\) też itd. Dziwne jest z tą nieskończonością.
teraz jest już dla mnie zrozumiałe. A co do b)
\(f_n(x) = x^{n} \ \longrightarrow _{n\to \infty } \ \infty\) o ile się nie mylę
Skoro jest nieskończoność, to sam nie wiem, czy można dalej wyznaczać, jakby co, to piszę:
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \| x^{n}- \infty \|=
\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \| \infty - \infty \|=...\)
Pewnie jest źle, bo \(x\) musi należeć do przedziału \([-\frac{1}{2} , \frac{1}{2} ]\), więc zapewne nie będzie to \(\infty\). Ale pamiętam, że \(\lim_{n\to \infty } 2^{n} = \infty\), \(8^{n}\) też itd. Dziwne jest z tą nieskończonością.
Re:
Wiedziałem, że coś tu nie świta. Też myślałem, że to będzie \(0\), ale nie byłem pewny. Bo na popularnej stronce matematyki jest napisane, że \(2^{n} = \infty\)itd., dlatego myślałem, że \(x^{n}\) to też.
\(f_n(x) = x^{n} \ \longrightarrow _{n\to \infty } \ 0\)
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \| x^{n}- 0 \|=
\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \|0 - 0 \|= \lim_{n \to \infty} 0=0\)
Czyli ciąg funkcyjny\(f_{n}\) jest jednostajnie zbieżny.
Czyli jest dobrze? Chodzi mi również o zapis, czy można tak zapisać \(0-0\)?
\(f_n(x) = x^{n} \ \longrightarrow _{n\to \infty } \ 0\)
\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} \| f_n(x)-f(x) \| = \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \| x^{n}- 0 \|=
\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in ( -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} )} \|0 - 0 \|= \lim_{n \to \infty} 0=0\)
Czyli ciąg funkcyjny\(f_{n}\) jest jednostajnie zbieżny.
Czyli jest dobrze? Chodzi mi również o zapis, czy można tak zapisać \(0-0\)?