Granica

[suspicious20]

czesc prosze o drobną wskazówkę

\(\lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+ 5} -n }{ \sqrt{n^2 + 2} - n }\)
i to jest równe podobno 2,5

a jak ja sobie wyciagne n przed nawiasy to mi sie elegancko skracaja a w nawiasach mam 1 -1 w liczniku i w mianowniku. wychodzi mi granica zero. nie wiem gdzie robie błąd

[Galen]

Pomnóż licznik i mianownik przez ten iloczyn
\((\sqrt{n^2+5}+n)(\sqrt{n^2+2}+n)\),
zastosuj wzór skróconego mnożenia,dostaniesz granicę podaną w odpowiedzi.

[Galen]

Jeśli masz \(\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}\) , to masz symbol nieoznaczony.

[alexx17]

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2+ 5} -n }{ \sqrt{n^2 + 2} - n } \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 2} + n }{\sqrt{n^2 + 2} + n }= \lim_{n\to \infty } \frac{( \sqrt{n^2+ 5} -n)(\sqrt{n^2 + 2} + n ) }{2} \cdot \frac{ \sqrt{n^2+ 5} +n}{ \sqrt{n^2+ 5} +n} = \lim_{n\to \infty } \frac{5(\sqrt{n^2 + 2} + n )}{2( \sqrt{n^2+ 5} +n)}=\\= \lim_{n \to \infty } \frac{5n(sqrt{1+ \frac{2}{n^2} }+1) }{2n( \sqrt{1+ \frac{5}{n^2}} +1) }= \lim_{n \to \infty } \frac{5( sqrt{1+0}+1)}{2( sqrt{1+0}+1)}= \frac{5}{2}\)

[jola]

\(\lim_{n\to + \infty } \ [ \frac{ \sqrt{n^2+5}-n }{ \sqrt{n^2+2 } -n} \cdot \frac{( \sqrt{n^2+5} +n) \cdot ( \sqrt{n^2+2}+n) }{( \sqrt{n^2+2}+n) \cdot ( \sqrt{n^2+5}+n) }]= \lim_{n\to + \infty }{\ \frac{(n^2+5-n^2) \cdot n \cdot ( { \sqrt{1+ \frac{2}{n^2} }+1) }}{(n^2+2-n^2) \cdot n \cdot ( \sqrt{1+ \frac{5}{n^2}+1) }}= \frac{5}{2}\)

[alexx17]

Uzupełniłem do końca swój zapis. Poza tym, granica przy n dążącym do nieskończoności a nie x

[suspicious20]

gdy mam ułamek i w mianowniku lub w liczniku mam dwa pierwiastki albo jeden pierwiastek i liczbne to zawsze musze robic sprzęzenie ? np gdy w mianowniku bylaby suma dwóch pierwiastków to robie sprzezenie i korzystam z wzoru na róznice kwadratów ? rozumiem ze zawsze jest taka zasada... tak ?

[alexx17]

Tak.

[suspicious20]

a np mam przykład taki :
\(a_n = \frac{2n - 1}{ \sqrt{n^2 +1} +n }\)
i nie robilem tego sprzężenia bo nie wiedzialem ze tak trzeba, a granica wyszla mi dobra bo 1.
jesli zrobie sprzężenie to bedzie to samo ? to jest jakis specyficzny przypadek ze ze sprzezeniem wyszloby to samo co bez ?

[alexx17]

Tu sprzężenie to tylko dodatkowy rachunek. Od razu widać, że można ładnie wyciągnąć n w mianowniku. Trzeba ocenić