Wyznaczyc całki nieoznaczone

[alicja403]

Wyznaczyć całki nieoznaczone:
\(\int x^3 e^{3x}dx\)
\(\int \frac{sin x^{-1} }{x^2} dx\)

[radagast]

przez części :

\(\int x^3 e^{3x}dx=
\frac{1}{3} \int x^3 \left( e^{3x}\right)' dx=
\frac{1}{3} x^3 e^{3x}-\int x^2 e^{3x}dx=
\frac{1}{3} x^3 e^{3x}-\frac{1}{3} \int x^2 \left( e^{3x}\right)' dx=
\frac{1}{3} x^3 e^{3x}-\frac{1}{3}x^2 e^{3x}+\frac{2}{3} \int x e^{3x}dx=
\frac{1}{3} x^3 e^{3x}-\frac{1}{3}x^2 e^{3x}+\frac{2}{9} \int x \left( e^{3x}\right)' dx=
\frac{1}{3} x^3 e^{3x}-\frac{1}{3}x^2 e^{3x}+\frac{2}{9} x e^{3x}-\frac{2}{9} \int e^{3x}dx=
\frac{1}{3} x^3 e^{3x}-\frac{1}{3}x^2 e^{3x}+\frac{2}{9} x e^{3x}-\frac{2}{27} e^{3x}+C\)

[radagast]

przez podstawienie:

\(\int \frac{sin x^{-1} }{x^2} dx=\int \frac{sin { \frac{1}{x} } }{x^2} dx= \left( \frac{1}{x}=t\\ x=\frac{1}{t}\\ \frac{dx}{dt}= -\frac{1}{t^2}\\dx= - \frac{dt}{t^2} \right)=-\int t^2sin { t} \frac{dt}{t^2}=- \int sint dt= cost+C= cos{ \frac{1}{x}+C\)