obliczyc granice

[MrVonzky]

\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }(1+3cosx)^{ \frac{1}{ \frac{\pi}{2} -x }\)

niby mi wyszło dobrze, ale nie jetem pewny czy dobrze, tam dochodzę to \((1-3sint)'=-3cost\), tak?

[radagast]

\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }(1+3cosx)^{ \frac{1}{ \frac{\pi}{2} -x }}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }(1+3cosx)^{ \frac{2}{ \pi -2x }}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }e^{ln \left( (1+3cosx)^{ \frac{2}{ \pi -2x }}\right) }=
\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }e^{ { \frac{2ln \left( 1+3cosx\right)}{ \pi -2x }} }=(*)\)

\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }{ \frac{2ln \left( 1+3cosx\right)}{ \pi -2x }}=^H\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }\frac{{ \frac{2}{1+3cosx} \cdot (-3sinx)}}{-2}= \frac{ -\frac{6}{1} }{-2}= 3\)
No to \((*)=e^{ 3}\)

[octahedron]

\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(1+3\cos x)^{ \frac{1}{ \frac{\pi}{2} -x }}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(1+3\cos x)^{\frac{1}{3\cos x} \frac{3\cos x}{ \frac{\pi}{2} -x }}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\[(1+3\cos x)^{\frac{1}{3\cos x}}\] ^{\frac{3\sin\(\frac{\pi}{2} -x \)}{ \frac{\pi}{2} -x }}=e^3\)

[MrVonzky]

octahedron to granica nie musi być w +/- nieskończnośc by wyszło nam e?, podobnie radagast nie zmieniacie granicy do 0?

[radagast]

Musi być. U Octaedrona jest skrót myślowy, a ja powołuję regułę de l'Hospitala

[MrVonzky]

ja robiłem tak samo jak Ty tylko wprowadziłem zmienną \(t: x= \frac{\pi}{2} + t\), gdzie \(t\) dąży do \(0\) czy tak też jest poprawnie? Czyli u kolegi też powinna być jakaś taka zamiana na zmienną?

[radagast]

ja robiłem tak samo jak Ty tylko wprowadziłem zmienną \(t: x= \frac{\pi}{2} + t\), gdzie \(t\) dąży do \(0\) czy tak też jest poprawnie?

poprawnie, tylko po co ?

[MrVonzky]

no bo często w takich przykładach występuje \(\frac{sinx}{x}\), \(\frac{tgx}{x}\), \(\frac{e^x-1}{x}\), \(\frac{ln(1+x)}{x}\)to jest 1 czy też \(\frac{a^x-1}{x}=lna\) tylko przy x dążącym do zera, dlatego zawsze z góry zmieniam, że całośc dąży do zera

[octahedron]

octahedron to granica nie musi być w +/- nieskończnośc by wyszło nam e?, podobnie radagast nie zmieniacie granicy do 0?

\(\lim_{x\to x_o}f(x)=\infty \Rightarrow \lim_{x\to x_o}\(1+\frac{1}{f(x)}\)^{f(x)}=e
\lim_{x\to x_o}f(x)=0\Rightarrow \lim_{x\to x_o}\(1+f(x)\)^{\frac{1}{f(x)}}=e\)

[MrVonzky]

\({\frac{3\sin\(\frac{\pi}{2} -x \)}{ \frac{\pi}{2} -x }}\), dlaczego to dąży do 3? Powołujemy się, na sinx/x? ale granica nie jest do 0?

[octahedron]

Ważne, co dąży do \(0\), mamy \(x\to\frac{\pi}{2}\), więc \(\frac{\pi}{2}-x\to 0\), i teraz korzystamy z granicy \(\frac{\sin x}{x}\) w \(0\)