granice funkcji

[ankaaa993]

Są to granice z książki Krysickiego i Włodarskiego, z którymi nie mogę sobie poradzić

a)\(\lim_{x\to 2 } \frac{x^{2}-1}{x-2}\)

b)\(\lim_{x\to -1 } \frac{x^{2}-1}{x+1}\)

c)\(\lim_{x\to 0 } \frac{ \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }\)

d)\(\lim_{x\to 0} \frac{4x}{3sin2x}\)

e) \(\lim_{x\to \pi } \frac{1+cosx}{sin^{2}x}\)

f) \(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^{2}+1}-1 }{ \sqrt{x^{2}+25}-5 }\)

[Galen]

\(\lim_{x\to 2_-} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{3}{0_-}=- \infty \\
\lim_{x\to 2+} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{3}{0_+}=+ \infty\)
b)
\(\lim_{x\to -1} \frac{x^2-1}{x+1}= \lim_{x\to -1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}= \lim_{x\to -1}(x-1)=-2\)
c)
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1}- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1} }{1+ \sqrt{x+1} } \cdot \frac{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{(x^2+1-x-1) (1+ \sqrt{x+1} }{(1-x-1)( \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1}) }= \lim_{x\to 0} \frac{(1-x)(1+ \sqrt{x+1}) }{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }=\frac{2}{2}=1\)

[ankaaa993]

no w tym b też mi wychodzi -2 a w odpowiedziach było -4.
a w podpunkcie a w odpowiedziach jest 4.

[Galen]

d)
\(\lim_{x\to 0} \frac{4x}{3sin2x}= \lim_{x\to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{2x}{sin2x}= \frac{2}{3} \cdot 1= \frac{2}{3}\)
e)
\(\lim_{x\to \pi } \frac{1+cosx}{1-cos^2x}= \lim_{x\to \pi} \frac{1+cosx}{(1+cosx)(1-cosx)} = \lim_{x\to \pi} \frac{1}{1-cosx}= \frac{1}{2}\)
f)
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1}-1 }{ \sqrt{x^2+25}-5 }= \lim_{x\to 0} \frac{( \sqrt{x^2+1}-1)( \sqrt{x^2+1}+1)( \sqrt{x^2+25}+5) }{( \sqrt{x^2+1}+1)( \sqrt{x^2+25}+5)( \sqrt{x^2+25}-5) }= \lim_{x\to 0} \frac{x^2( \sqrt{x^2+25}+5) }{( \sqrt{x^2+1}+1) x^2 }= \frac{10}{2}=5\)

[Galen]

Skuteczna jest reguła de L Hospitala...
\(\lim_{x\to 0} \frac{ln(x+1)}{x}=(H)= \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1}{x+1} }{1}= \lim_{x\to 0} \frac{1}{x+1}= \frac{1}{0+1}=1\)

[ankaaa993]

dobrze, a można zrobić to bez reguły l'Hospitala? tak jak zaczęłam?