Nie mam za bardzo pomysłu na zadanko :/
W równoległoboku ABCD punkty E i F są środkami boków AB i AD. Wykaż, że proste CE i CF dzielą przekątną BD tego równolegloboku na trzy równe części.
Z góry dzięki za pomoc!
Przekątna podzielona na 3 części :/
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
Nie wiem, czy to najprostszy sposób, ale nic innego nie wymyśliłam.
\(\Delta DBC\\
sin\alpha=\frac{h_{1}}{a}\)
Obliczam \(P_{GBC}\)
\(P_{EBC}=\frac{\frac{1}{2}ah}{2}=\frac{ah}{4}\\
P_{GBC}=\frac{xh_{1}}{2}\\
P_{EBG}=\frac{\frac{1}{2}axsin\alpha}{2}=\frac{ax\frac{h_{1}}{a}}{4}=\frac{xh_{1}}{4}\\
P_{GBC}=P_{EBC}-P_{EBG}\\
\frac{xh_{1}}{2}=\frac{ah}{4}-\frac{xh_{1}}{4}\\
\frac{xh_{1}}{2}+\frac{xh_{1}}{4}=\frac{ah}{4}\\
\frac{3xh_{1}}{4}=\frac{ah}{4} \ /\cdot \frac{2}{3}\\
\frac{xh_{1}}{2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{ah}{2}\\
P_{GBC}=\frac{1}{3}P_{DBC}\)
Podobnie \(P_{DHC}=\frac{1}{3}P_{DBC}\) (\(\Delta DBC; \sin\beta=\frac{h_{1}}{b}\); \(P_{DHC}=P_{FCD}-P_{FHD}\))
Obliczam \(P_{HGC}\)
\(P_{HGC}=P_{DBC}-(P_{GBC}+P_{DHC})=P_{DBC}-\frac{2}{3}P_{DBC}=\frac{1}{3}P_{DBC}\)
Czyli:
\(P_{GBC}=P_{HGC}=P_{DHC}\)
\(\frac{xh_{1}}{2}=\frac{yh_{1}}{2}=\frac{zh_{1}}{2}\\
x=y=z\)
\(\Delta DBC\\
sin\alpha=\frac{h_{1}}{a}\)
Obliczam \(P_{GBC}\)
\(P_{EBC}=\frac{\frac{1}{2}ah}{2}=\frac{ah}{4}\\
P_{GBC}=\frac{xh_{1}}{2}\\
P_{EBG}=\frac{\frac{1}{2}axsin\alpha}{2}=\frac{ax\frac{h_{1}}{a}}{4}=\frac{xh_{1}}{4}\\
P_{GBC}=P_{EBC}-P_{EBG}\\
\frac{xh_{1}}{2}=\frac{ah}{4}-\frac{xh_{1}}{4}\\
\frac{xh_{1}}{2}+\frac{xh_{1}}{4}=\frac{ah}{4}\\
\frac{3xh_{1}}{4}=\frac{ah}{4} \ /\cdot \frac{2}{3}\\
\frac{xh_{1}}{2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{ah}{2}\\
P_{GBC}=\frac{1}{3}P_{DBC}\)
Podobnie \(P_{DHC}=\frac{1}{3}P_{DBC}\) (\(\Delta DBC; \sin\beta=\frac{h_{1}}{b}\); \(P_{DHC}=P_{FCD}-P_{FHD}\))
Obliczam \(P_{HGC}\)
\(P_{HGC}=P_{DBC}-(P_{GBC}+P_{DHC})=P_{DBC}-\frac{2}{3}P_{DBC}=\frac{1}{3}P_{DBC}\)
Czyli:
\(P_{GBC}=P_{HGC}=P_{DHC}\)
\(\frac{xh_{1}}{2}=\frac{yh_{1}}{2}=\frac{zh_{1}}{2}\\
x=y=z\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
Rysunek i oznaczenia takie jakie przyjęła anka.
\(|\angle FDH|=|\angle HBC|=\alpha\ \ \ i\ \ \ |\angle FHD|=|\angle CHB|\\)(bo to kąty wierzchołkowe)\(\ \ i\ \ \frac{BC}{FD}=\frac{b}{\frac{b}{2}}=2\ \ \\)stąd\(\ \ \Delta HDF\sim \Delta HBC\)
z powyższego wynika, że 2z=x+y
\(|\angle GDC|=|\angle EBG|=\alpha\ \ i\ \ \ |\angle EGB|=|\angle DGC|\ \ \\)(bo to kąty wierzchołkowe)\(\ \ \ i\ \ \frac{DC}{EB}=2\ \\)stąd\(\ \ \Delta EBG\sim \Delta DGC\)
z powyższego wynika, że 2x=z+y
z układu: 2z=x+y i 2x=z+y wynika, że 2z-2x=x-z i 2z=x+y czyli 3z=3x i y=2z-x stąd z=x i y=x więc x=y=z
\(|\angle FDH|=|\angle HBC|=\alpha\ \ \ i\ \ \ |\angle FHD|=|\angle CHB|\\)(bo to kąty wierzchołkowe)\(\ \ i\ \ \frac{BC}{FD}=\frac{b}{\frac{b}{2}}=2\ \ \\)stąd\(\ \ \Delta HDF\sim \Delta HBC\)
z powyższego wynika, że 2z=x+y
\(|\angle GDC|=|\angle EBG|=\alpha\ \ i\ \ \ |\angle EGB|=|\angle DGC|\ \ \\)(bo to kąty wierzchołkowe)\(\ \ \ i\ \ \frac{DC}{EB}=2\ \\)stąd\(\ \ \Delta EBG\sim \Delta DGC\)
z powyższego wynika, że 2x=z+y
z układu: 2z=x+y i 2x=z+y wynika, że 2z-2x=x-z i 2z=x+y czyli 3z=3x i y=2z-x stąd z=x i y=x więc x=y=z
