Zbadaj monotonicznośd i ograniczonośd ciągu

[ewelka-6]

\(a_n= \frac{n+1}{n}

b_n= \sqrt{n^2+2n} -n

c_n=5^n-3^n-2^n\)

[octahedron]

\(a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\)

i widać, że z rosnącym \(n\) wyraz ciągu maleje, ponadto \(a_n\in(1,2]\)

[octahedron]

\(b_n= \sqrt{n^2+2n} -n=\frac{(\sqrt{n^2+2n} -n)(\sqrt{n^2+2n} +n)}{\sqrt{n^2+2n} +n}=\frac{n^2+2n-n^2}{\sqrt{n^2+2n} +n}=\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n} +n}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} +1}\)

ze wzrostem \(n\) maleje mianownik, czyli ułamek rośnie, mamy \(a_n\in\[\frac{2}{\sqrt{3} +1},1\)\)

[octahedron]

\(c_n=5^n-3^n-2^n=5^n\[1-\(\frac{3}{5}\)^n-\(\frac{2}{5}\)^n\]\)

\(\(\frac{3}{5}\)^n\) i \(\(\frac{2}{5}\)^n\) są malejące, czyli \(1-\(\frac{3}{5}\)^n-\(\frac{2}{5}\)^n\) jest rosnący, więc \(c_n\) to iloczyn dwóch nieujemnych ciągów rosnących, więc jest rosnący i \(c_n\in[0,\infty)\)