granica ciągu

[mcmcjj]

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granicę \(\lim_{n\to \infty } \frac{(n^{20}+2)^{3}}{(n^{3}+1)^{20}}\).

[Lbubsazob]

3 dni temu to pisałam na drugim forum ...

Zauważ, że po podniesieniu do potęgi pierwszy wyraz licznika to \(\left( n^{20}\right)^3=n^{60}\), a pierwszy wyraz mianownika to \(\left( n^3\right)^{20}=n^{60}\). Dzieląc przez najwyższą potęgę, czyli \(n^{60}\) otrzymamy granicę równą \(1\), bo pozostałe składniki dążą do zera.

[radagast]

To samo ale innymi słowami :
Zarówno licznik, jak mianownik to wielomiany. Na granicę ma wpływ wyłącznie współczynnik przy najwyższej potędze. W liczniku wynosi on 1, a w mianowniku ... też 1 .
no to \(\lim_{n\to \infty } \frac{(n^{20}+2)^{3}}{(n^{3}+1)^{20}}= \frac{1}{1}=1\).