Ciąg geometryczny

[max04]

Mam zadanko z ciągiem geometrycznym, dzięki za pomoc.

Rozwiąż równanie:
\((x-2) + (x-2)^2 + (x-2)^3+...+...=1,5x-3\)

[jola]

Składniki lewej strony tworzą nieskończony ciąg geometryczny, w którym \(\ \ a_1=x-2\ \ \ i\ \ \ q=x-2\)

Suma istnieje, jeżeli\(\ \ |q|<1\ \ \ czyli\ \ \ |x-2|<1\ \\)stąd\(\ \ -1<x-2<1\ \ \\)więc\(\ \ \ 1<x<3\ \ czyli\ \ x\in (1;3)\)

Jeżeli\(\ \ x\in (1;3)\ \ to\ \ \frac{x-2}{1-(x-2)}\ =\ 1,5\ -\ 3\)

Rozwiąż równanie

odp.:\(\ \ x=2\ \ lub\ \ x=2\frac{1}{3}\)

[max04]

hmm a mi wychodzi że pierwiastki to 2 i 1/3...

[Pol]

równanie przyjmie postać:

\(3x^2-13x+14=0\)

[max04]

Dlaczego?
mi wyszło tak:
\(3/2x^2-3,5x+1=0\)

[Pol]

\(\frac{x-2}{1-(x-2)}\ =\ 1,5x\ -\ 3\\ \ \\
\frac{x-2}{3-x}\ =\ \frac 3 2x\ -\ 3 \ /\cdot 2(3-x) \\ \ \\
2(x-2) \ =\ 3(3-x)x\ -\ 3[2(3-x)] \\ \ \\
2x-4-9x+3x^2+18-6x=0\)

[max04]

Policzyłem jeszcze raz mnożąc przez mianownik i wyszło mi tak jak wam ale jak liczyłem poprzez znalezienie wspólnego mianownika to wychodziło mi tak jak napisałem, nie wiem co źle zrobiłem,
liczyłem tak:
(x-2)/(3-x)-[3/2x(3-x)/(3-x)]+3=0;
z tego wychodzi :
(x-2)-(9/2x-3/2x^2)+3.
Noi z tego wychodzi delta 25/4 i pierwiastki 2 i 1/3
może mi ktoś powiedzieć gdzie zrobiłem błąd?

[Pol]

liczbe 3 tez trzeba do wspolnego mianownika i wspolnym mianownikiem jest 2(3-x)

[max04]

a (3-x) nie może być?
a czy pierwiastek 2,5 spełnia nierówność, bo należy do przedziału ale po podstawieniu strony nie są sobie równe?

[Pol]

nie 2.5 tylko 2 i 1/3

[Pol]

"a (3-x) nie może być?"

teoretycznie moze, tylko ze i tak 3 nie ma takiego mianownika w twoim rozwiazywaniu

[max04]

Ok dzięki za pomoc

[max04]

Na innym forum jeden koles napisał mi że pierwiastek 2 nie jest zgodny z dziedziną, czy to prawda i dlaczego?

[jola]

Liczba 2 spełnia to równanie. przecież\(\ \ 2\in(1;3)\)

\(L=(2-2)+(2-2)^2+(2-2)^3+...=0\)

\(P=1,5\cdot 2-3=3-3=0\)

\(L=P\)

[max04]

tak właśnie myślałem, pomylił się,
dzięki