Czy ktoś moze rozjaśnić mi sytuację w tym zadanku:
Wyznacz zbiór wartości parametru p, dla których równanie x^2 - 2|x| + p-1=0 ma dwa różne rozwiązania.
Równanie kwadratowe z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
Dane równanie:\(\ \ \ x^2-2|x|+p-1=0\ \ \\)można go zapisać w równoważnej postaci\(\ \ \ |x|^2-2|x|+p-1=0\)
stosujemy podstwienie: |x|=t i t>0 i otrzymamy równanie\(\ \ \ t^2-2t+p-1=0\ \ \\)dla którego
\(\\ \ \Delta=8-4p\ \ i\ \ t_1\cdot t_2=p-1\ \ i\ \ \ t_1+t_2=2\ \ \ i\ \ t_0=1\)
dane równanie ma dwa różne rozwiązania jeżeli:
\((\ \ \Delta = 0\ \ \ i\ \ \ t_o>0\ )\ \ \ lub\ \ \ (\ \ \Delta>0\ \ \ i\ \ \ t_1\cdot t_2<0\ )\ \ \ lub\ \ (\ \ \Delta>0\ \ \ i\ \ t_1\cdot t_2=0\ \ i\ \ \ t_1+t_2>0\ \ )\)
rozwiązanie powyższych warunków : p=2 lub p<1 lub p=1 czyli odpowiedź:\(\ \ p\in (-\infty\ ;\ 1\ >\cup\){2}
stosujemy podstwienie: |x|=t i t>0 i otrzymamy równanie\(\ \ \ t^2-2t+p-1=0\ \ \\)dla którego
\(\\ \ \Delta=8-4p\ \ i\ \ t_1\cdot t_2=p-1\ \ i\ \ \ t_1+t_2=2\ \ \ i\ \ t_0=1\)
dane równanie ma dwa różne rozwiązania jeżeli:
\((\ \ \Delta = 0\ \ \ i\ \ \ t_o>0\ )\ \ \ lub\ \ \ (\ \ \Delta>0\ \ \ i\ \ \ t_1\cdot t_2<0\ )\ \ \ lub\ \ (\ \ \Delta>0\ \ \ i\ \ t_1\cdot t_2=0\ \ i\ \ \ t_1+t_2>0\ \ )\)
rozwiązanie powyższych warunków : p=2 lub p<1 lub p=1 czyli odpowiedź:\(\ \ p\in (-\infty\ ;\ 1\ >\cup\){2}